Расстояние Гарнака

Расстояние Гарнака — функция от двух комплексных чисел заданной области $D\subset {ℂ}_{\mathrm{\infty }}$, наименьшее действительное число ${\tau }_D(z,w)$, такое что для каждой положительной гармонической функции $h$ над $D$ выполнены неравенства:

${\tau }_D(z,w{)}^{-1}h(w)⩽h(z)⩽{\tau }_D(z,w)h(w)$.

Существование такой функции следует из неравенства Гарнака. Введено немецким математиком Акселем Гарнаком; широко используется в комплексном анализе в вопросах, связанных с гармоническими функциями, применяется для решения задачи Дирихле.

Несмотря на название, не является функцией расстояния в строгом смысле; при этом функция $\log {\tau }_D$ является непрерывной псевдометрикой.

Принцип субординации: для мероморфного преобразования $f:D_1\to D_2$ между областями $D_1$ и $D_2$ в ${ℂ}_{\mathrm{\infty }}$ и любых $z,w\in D_1$ имеет место:

${\tau }_{D_2}(f(z),f(w))⩽{\tau }_{D_1}(z,w)$,

причём равенство достигается только если $f$ является конформным отображением. В частности, из этого следует, что если $D_1\subset D_2$, то ${\tau }_{D_2}(z,w)⩽{\tau }_{D_1}(z,w)$.

Например, для открытого круга $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(w,\rho )$ с центром в $w$ и радиусом $\rho$ и любого $z\in \mathrm{\Delta }$:

${\tau }_{\mathrm{\Delta }}(z,w)=\frac{\rho +|z-w|}{\rho -|z-w|}$.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Статья