Рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая Шаблон:Не переведено 5 n в n-мерном проективном пространстве ${\mathbb{P}}^n.$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

$\nu :{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^n$

которое переводит точку с однородными координатами $[s:t]$ в точку

$[s^n:s^{n-1}t:s^{n-2}{t}^2:\dots :t^n].$

В аффинной карте $x_0=1$ это отображение записывается более простым образом:

$\nu :x\mapsto (x,x^2,\dots ,x^n).$

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой $(x,x^2,\dots ,x^n)$ при помощи единственной Шаблон:Не переведено 5.

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

$F_{i,j}(x_0,\dots ,x_n)=x_i{x}_j-x_{i+1}{x}_{j-1},$

где $[x_0:\dots :x_n]$ — однородные координаты на ${\mathbb{P}}^n$. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, $F_{i,i}$ и $F_{1,n-1}.$

Альтернативная параметризация

Пусть $[a_i:b_i]$ — $n+1$ различных точек на ${\mathbb{P}}^1.$ Тогда многочлен

$G(s,t)={\mathrm{\Pi }}_{i=0}^n(a_{i}s-b_{i}t)$

является однородным многочленом степени $n+1$ с различными корнями. Многочлены

$H_i(s,t)=\frac{G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}$

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

$[s:t]\mapsto [H_0(s,t):H_1(s,t):\dots :H_n(s,t)]$

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы $s^n,s^{n-1}t,s^{n-2}{t}^2,\dots ,t^n$ являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена $G(s,t)$ в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена $G.$

Свойства

• Любые $n+1$ точки на рациональной нормальной кривой в ${\mathbb{P}}^n$ линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
• Для любых $n+3$ точек в ${\mathbb{P}}^n,$ таких что любые $n+1$ из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести $n+1$ из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в $[c_0:c_1:\dots :c_n],[d_0:d_1:\dots :d_n],$ в качестве многочлена $G$ выбрать многочлен, зануляющийся в точках $[a_i:b_1]=[c_i^{-1}:d_i^{-1}].$
• Рациональная нормальная кривая в случае $n>2$ не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.

Литература

• Шаблон:Книга