Риманова субмерсия

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Определение

Пусть $(M,g)$ и $(N,h)$ — римановы многообразия. Гладкое отображение $f:(M,g)\to (N,h)$ называется римановой субмерсией, если для любой точки $x$ существует изометрическое линейное вложение ${ı}_x:T_{f(x)}N\to T_{x}M$ такое, что ${ı}_x\circ d_{x}f$ есть ортогональная проекция. Здесь $d_{x}f$ обозначает дифференциал отображения $f$ в точке $x$.

Для вектора $X\in T_{f(x)}$ вектор $\bar{X}={ı}_x(X)$ называется горизонтальным поднятием $X$.

Формула О’Нэйла

Пусть $f:N\to M$ — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей $X$, $Y$ на $M$, значение тензора кривизны $R_M$ можно вычислить, используя формулу О’Нэйла

$⟨R_M(X,Y)V,W⟩=⟨R_N(\bar{X},\bar{Y})\bar{V},\bar{W}⟩+\frac{1}{2}⟨[\bar{X},\bar{Y}{]}^V,[\bar{V},\bar{W}{]}^V⟩+\frac{1}{4}⟨[\bar{X},\bar{V}{]}^V,[\bar{Y},\bar{W}{]}^V⟩-\frac{1}{4}⟨[\bar{X},\bar{W}{]}^V,[\bar{Y},\bar{V}{]}^V⟩$.

где $\bar{X},\bar{Y},\bar{V},\bar{W}$ — горизонтальные поднятия полей $X,Y,V,W$ соответственно, $[\bar{X},\bar{Y}{]}^V$ — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей $\bar{X},\bar{Y}$ на $N$.

В частности,

$⟨R_M(X,Y)Y,X⟩=⟨R_N(\bar{X},\bar{Y})\bar{Y},\bar{X}⟩+\frac{3}{4}{|[\bar{X},\bar{Y}{]}^V|}^2$,

Замечания

• $[\bar{X},\bar{Y}{]}^V$ является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов $\bar{X}$ и $\bar{Y}$ в этой точке.

Следствия

• Абсолютная величина $[\bar{X},\bar{Y}{]}^V$ в точке $p\in N$ зависит только от точки $p$ и значений $X$ и $Y$ в точке $f(p)$.
• Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну $⩾\kappa$, то то же верно и для его базы.

Вариации и обобщения

• Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга, том 2, стр. 326—379.