Род целой функции

Определение

Пусть последовательность нулей $\{a_n\}$ целой функции $f$ такова, что ряд $\sum _1^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n+1}$ сходится при $p_n=\rho$, где $\rho$ — некоторое неотрицательное целое число (без ограничения общности будем считать, что это число — наименьшее из обладающих таким свойством). Тогда бесконечное произведение из формулировки теоремы Вейерштрасса приобретает вид:

$f(z)=z^{\lambda }{e}^{h(z)}\prod _1^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{a_n})\exp (\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^2+\dots +\frac{1}{\rho }{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{\rho }).$

Если $h(z)$ — многочлен степени ${\rho }_1$, то $f$ называется целой функцией конечного рода, а число $\max (\rho ;{\rho }_1)$ называется родом целой функции. Если $h$ — не многочлен, либо ряд не сходится ни при каких условиях, тогда $f$ — целая функция бесконечного рода.

Теорема Пуанкаре о скорости роста целой функции

Важность такой характеристики, как род, состоит в том, что с её помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину $M(r)=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|$. Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с её родом. А именно, для целой функции $f$ рода $\rho$ и произвольного $\alpha >0$ существует такое $r_0$, что при $r>r_0$ выполняется неравенство $M(r)<e^{\alpha r^{\rho +1}}$.