Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Теорема

Любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup \{a_n\}\to \mathrm{\infty }$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^{\lambda }{e}^{h(z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{a_n})\exp (\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^2+\dots +\frac{1}{p_n}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{p_n})$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n+1}{\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{p_n+1}$

сходился при всех $z$. При $p_n=0$ соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной $\exp (0)=1$).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции $f$, которая в заданных точках точках $z=a_k$ ($a_k\to \mathrm{\infty }$) имеет нули кратности $n_k$, является произведение

$f(z)=z^{n_0}{e}^{h(z)}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\{(1-\frac{z}{a_k})\exp (\frac{z}{a_k}+\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{a_k}\right)}^2+\dots +\frac{1}{p_k}{\left(\frac{z}{a_k}\right)}^{p_k})\}}^{n_k}$,

где $h$ — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n_k}{p_k+1}{\left|\frac{z}{a_k}\right|}^{p_k+1}$

сходился при всех $z$.

Примеры

Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\ne 0}(1-\frac{z}{n})e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$

$\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb{Z},q\text{odd}}(1-\frac{2z}{q})e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{(2n+1{)}^2})$

Замечание

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература

• Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
• Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316