Ряд Дайсона

Ряд Дайсона — ряд возмущений в теории рассеяния, каждый из членов которого можно изобразить в виде диаграммы Фейнмана. Ряд носит имя Фримена Дайсона и в целом расходится, однако, уже второй член этого ряда в квантовой электродинамике позволяет получить точность до 10⁻¹⁰ благодаря малости постоянной тонкой структуры.

Построение ряда Дайсона использует понятие временного упорядочения.

Система

Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$

В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции $\hat{U}(t,t_0)$ удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера

$i\hslash \frac{\hat{U}(t,t_0)}{dt}=\hat{V}(t)\hat{U}(t,t_0)$,

где

$\hat{V}(t)=e^{i/\hslash {\hat{H}}_{0}t}\hat{V}{e}^{-i/\hslash {\hat{H}}_{0}t},$

или интегродифференциальному уравнению

$\hat{U}(t,t_0)=1-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1,t_0)d{t}_1$

Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:

$\hat{U}(t,t_0)=1-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\hat{V}(t_1)d{t}_1+\frac{(-i{)}^2}{{\hslash }^2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)d{t}_{1}d{t}_2+\dots$

Предложение Дайсона

Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от $t_0$ до $t$, но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении $\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)$, всегда было $t_1>t_2$. Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в $n!$ раз.

В результате n-ный член ряда будет выглядеть:

${\hat{U}}_n=\frac{(-i{)}^n}{n!{\hslash }^n}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_1\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_2\cdots \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}_n𝒯\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n).$,

где $𝒯$ — оператор временного упорядочивания.

Как следствие, ряд Дайсона можно записать в компактном виде:

$\hat{U}(t,t_0)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\hat{U}}_n(t,t_0)=𝒯e^{-i/\hslash \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d\tau \hat{V}(\tau )}.$

Источники

• Шаблон:Книга