Свободное от сумм множество

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество $A$ абелевой группы $G$ является свободным от сумм, если его множество сумм $A+A$ не пересекается с $A$. Другими словами, $A$ является свободным от сумм, если уравнение $a+b=c$ не имеет решения для $a,b,c\in A$.

Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество $\{N/2+1,\dots ,N\}$ образует свободное от сумм подмножество множества $\{1,\dots ,N\}$ (для чётного $N$).

Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых $n$-х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для $n>2$.

Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

• Сколько свободных от сумм подмножеств множества $\{1,\dots ,N\}$ существует для заданного $N$? Бен Грин и Александр Сапоженко показали, что ответ — $O(2^{N/2})$, как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша.
• Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа $G$?
• Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе $G$?

Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.