Семплирование по Гиббсу

Семплирование по Гиббсу — алгоритм для генерации выборки совместного распределения множества случайных величин. Он используется для оценки совместного распределения и для вычисления интегралов методом Монте-Карло. Этот алгоритм является частным случаем алгоритма Метрополиса-Гастингса и назван в честь физика Джозайи Гиббса.

Семплирование по Гиббсу замечательно тем, что для него не требуется явно выраженное совместное распределение, а нужны лишь условные вероятности для каждой переменной, входящей в распределение. Алгоритм на каждом шаге берет одну случайную величину и выбирает её значение при условии фиксированных остальных. Можно показать, что последовательность получаемых значений образуют возвратную цепь Маркова, устойчивое распределение которой является как раз искомым совместным распределением.

Применяется семплирование по Гиббсу в тех случаях, когда совместное распределение случайных величин очень велико или неизвестно явно, но условные вероятности известны и имеют простую форму. Семплирование по Гиббсу особенно хорошо используется для работы с апостериорной вероятностью в байесовских сетях, поскольку в них заданы все необходимые условные вероятности.

Алгоритм

Пусть есть совместное распределение $p(x_1,...,x_d)$ для $d$ случайных величин, причём $d$ может быть очень большим. Пусть на шаге $t$ мы уже выбрали какое-то значение $X=\{x_i^t\}$. На каждом шаге делаются следующие действия:

1. Выбирается индекс $i:(1\le i\le d$).
2. $x_i^{t+1}$ выбирается по распределению $p(x_i|x_1^t,...,x_{i-1}^t,x_{i+1}^t,...,x_d^t)$, а для остальных индексов значение не меняется: $x_j^{t+1}=x_j^t$ (j≠i).

На практике обычно индекс выбирают не случайно, а последовательно. Алгоритм прост и не требует никаких специальных знаний и предположений, поэтому он популярен.

Пример

Пусть есть совместное распределение $p(x_1,x_2,x_3)$ из трех случайных величин, каждая из которых находится в диапазоне от 0 до 10.

Примем, что первоначальное значение вектора, от которого начнется итерационный процесс, будет $X=\{5,2,7\}$.

Далее фиксируем $x_2$ и $x_3$, после чего рассчитываем по известной заранее формуле условную вероятность $p(x_1|x_2,x_3)$, то есть $p(x_1|x_2=2,x_3=7)$, получая некоторый график плотности вероятности от переменной $x_1$. То, что изначально $x_1$ мы положили равным 5, забываем, больше это значение не понадобится.

Теперь необходимо выполнить семплирование — сгенерировать новое случайное значение для $x_1$ в соответствии с полученной плотностью вероятности. Семплирование можно сделать, например, по алгоритму выборки с отклонением. Для этого генерируется случайное число с равномерным распределением от 0 до 10, после чего для этого сгенерированного числа вычисляется его вероятность по графику плотности вероятности $p(x_1|x_2=2,x_3=7)$.

Например, пусть сгенерировалось случайное число 4 и по графику плотности его вероятность равна 0.2. Тогда, в соответствии с алгоритмом выборки с отклонением, мы принимаем это сгенерированное число с вероятностью 0.2. А для этого, в свою очередь, генерируем ещё одно случайное число от 0 до 1 с равномерным распределением, и, если сгенерировалось число меньше 0.2, то мы принимаем число 4 как успешное. Иначе повторяем сначала — генерируем ещё одно число (например выпадает 3), для него находим вероятность (например, 0.3), для него генерируем ещё число от 0 до 1 (например, 0.1) и тогда уже принимаем окончательно, что на этой итерации $x_1=3$.

Далее необходимо повторить все действия выше с величиной $x_2$, причём $x_1$ мы уже используем «новое» — в нашем примере равное 3. Так, рассчитываем плотность вероятности $p(x_2|x_1=3,x_3=7)$, генерируем снова случайное число на роль кандидата нового значения $x_2$, делаем выборку с отклонением и повторяем её в случае, если значение «отклонено».

Аналогично действия повторяются для $x_3$ с новыми значениями $x_1$ и $x_2$. Первая итерация алгоритма семплирования по Гиббсу завершена. Через несколько сотен/тысяч таких итераций случайные значения должны прийти к максимуму своей плотности, который может быть расположен достаточно далеко от нашего первого приближения $X=\{5,2,7\}$ и семплироваться в той области. Дальнейшая тысяча итераций может уже использоваться по назначению (для поиска математического ожидания, например) как образец значений искомого распределения, не зависящих от первоначального вектора $X=\{5,2,7\}$.

См. также

• Алгоритм Метрополиса-Гастингса
• Выборка по значимости
• Тематическое моделирование

Ссылки

• Гиббс в байесовских сетях — the BUGS Project
• Пример семплирования по Гиббсу двумерного нормального распределения