Симплициальный объём

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия $M$ обычно обозначается $\Vert M\Vert$.

Определение

Пусть $M$ — замкнутое многообразие, тогда

$\Vert M\Vert =\inf \sum _i|r_i|$,

где $r_i$ — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса $[M]$ через сумму сингулярных симплексов.

$[M]=\sum _i{r}_i{\mathrm{\Delta }}_i.$

Свойства

• Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.

• Для любых многообразий $M$ и $N$ той же размерности

  $\Vert M\mathrm{\#}N\Vert =\Vert M\Vert +\Vert N\Vert$,

где $\mathrm{\#}$ обозначает связную сумму.

• Существуют положительные числа $a(m)$ и $b(m)$ такие, что если сумма размерностей $\dim M+\dim N⩽m$, то

  $a(m)\cdot \Vert M\Vert \cdot \Vert N\Vert ⩽\Vert M\times N\Vert ⩽b(m)\cdot \Vert M\Vert \cdot \Vert N\Vert$,

где $\times$ обозначает прямое произведение.

• Для любого отображения $f:M\to N$

  $\Vert M\Vert ⩾|\mathrm{deg}f|\cdot \Vert N\Vert ,$

где $\mathrm{deg}f$ обозначает степень отображения $f$. В частности:

• Если многообразие $M$ допускает отображение $M\to M$ степени $>1$, то $\Vert M\Vert =0$.
• Для любого $n⩾1$ симплициальный объём $n$-мерной сферы равен $0$.

• Теорема Бессона — Куртуа — Гало. Следующее неравенство

  $n!\cdot \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}M>\Vert M\Vert$

выполняется для произвольного замкнутого $n$-меного риманова пространства $M$ с кривизной Риччи не меньше $-\frac{1}{n-1}$.

Литература

• Шаблон:Книга