Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является линейной относительно всех искомых функций $y_i(x)$ и их производных всех порядков. Такую систему можно преобразовать к линейной системе первого порядка канонического вида, которую обычно и определяют, как СЛДУ.

Определение

Если в системе $n$ дифференциальных уравнений имеется производная $y_i^{(k+1)},k>0$, то можно добавить новую искомую функцию $y_{n+1}$, определяемую новым линейным уравнением $y_i^{(k)}=y_{n+1}$. Заменой $y_i^{(k+1)}=y_{n^{\prime }+1}$ в остальных уравнениях производная$y_i^{(k+1)}$ исключается из системы. Последовательное выполнение этих операций для линейной системы приводит к линейной системе первого порядка. В линейной системе каждую производную можно подстановкой исключить из всех уравнений кроме одного. Поэтому систему линейных дифференциальных уравнений обычно определяют, как систему вида

$y{\text{'}}_j=\sum _{k=1}^n{p}_{jk}(x)y_k+f_j(x),j=1,2,\dots ,n$

Линейное дифференциальное уравнение

Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка $n$

$y_0^{(n)}=\sum _{k=0}^{n-1}{p}_k(x)y_0^{(k)}+f_j(x)$,

то описанным выше способом его можно преобразовать в систему $n$ уравнений следующего вида

$\{\begin{array}{c}y{\text{'}}_0=y_1\\ y{\text{'}}_1=y_2\\ \cdots \\ y{\text{'}}_{n-2}=y_{n-1}\\ y{\text{'}}_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{p}_k(x)y_k+f_j(x)\end{array}$

Решение СЛДУ

Общее решение однородной СЛДУ, получаемой приравниванием всех $f_j(x)$ к нулю даётся формулами

$y_j=\sum _{k=1}^n{C}_k{y}_{jk}(x)$

где $y_{j1},y_{j2},\dots ,y_{jn}$ — линейно независимые частные решения однородной системы, то есть такие, что определитель $||y(x{)}_{ij}||\ne 0$ хотя бы в одной точке. В случае постоянных коэффициентов $p(x{)}_{jk}=a_{jk}$ частные решения однородной системы следует искать в виде

$y_j(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+\dots +A_{j{n}_k-1}{x}^{n_k-1})e^{{\lambda }_{j}x}$

где $A_{js}$ — неопределённые коэффициенты, ${\lambda }_j$ — корни характеристического уравнения

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0$

и $n_k$ — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных случаев производится методами линейной алгебры. Для решения СЛДУ с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

Литература

• Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М.,1966
• Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.