Скользящая средняя (фильтр)

Блок-схема простого КИХ-фильтра второго порядка, реализующего скользящее среднее

Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее — разновидность цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) либо фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) (в случае экспоненциальной скользящей средней), используется для обработки сигналов и изображений, в системах автоматического управления и для других прикладных целей.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящего среднего, является уравнением КИХ-фильтра.

Пусть $x_n$ — входной сигнал фильтра, $y_n$ — выходной сигнал, $P$ — порядок фильтра, $b_i$ — весовые коэффициенты отсчётов. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

$y_n=\sum _{i=0}^P{b}_i{x}_{n-i}.$

Отличительной особенностью фильтра скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов $b_i$:

$\sum _{i=0}^P{b}_i=1.$

Последнее выражение нормировки коэффициентов отличает скользящее среднее от других КИХ-фильтров. В частности, для простого скользящего среднего весовые коэффициенты отсчётов имеют следующий вид:

$b_i=\frac{1}{P+1}$ для $i=0,1,\dots ,P$

Импульсная характеристика и z-преобразование

Для того, чтобы найти импульсную переходную функцию фильтра скользящего среднего дискретные отсчёты заменяются дельта-функцией $\delta (n)$:

$x_n=\delta (n).$

Тогда импульсная характеристика такого фильтра может быть записана как:

$h(n)=\sum _{i=0}^P{b}_i\delta (n-i).$

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию:

$H(z)=\sum _{i=0}^P{b}_i{z}^{-i}.$

См. также

• Среднее арифметическое взвешенное

Литература

• Шаблон:Книга