Слэш-обозначения Фейнмана

Слэш-обозначения Фейнмана (менее известное как слэш-обозначения Дирака) — удобное обозначение, придуманное Ричардом Фейнманом для полей Дирака в квантовой теории поля. Если A является ковариантным вектором (то есть 1-формой), то

$A/\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }$

используя соглашение о суммировании Эйнштейна, где γ — гамма-матрицы .

Тождества

Используя антикоммутаторы гамма-матриц, можно показать, что для любого $a_{\mu }$ и $b_{\mu }$ ,

$\begin{array}{cc}a/a/& \equiv a^{\mu }{a}_{\mu }\cdot I_4=a^2\cdot I_4\\ a/b/+b/a/& \equiv 2a\cdot b\cdot I_4\end{array}$ ,

где $I_4$ — единичная матрица в четырех измерениях.

В частности,

${\partial /}^2\equiv {\partial }^2\cdot I_4.$

Дальнейшие тождества могут быть получены непосредственно из тождеств гамма-матрицы путем замены метрического тензора на внутренние произведения. Например,

$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(a/b/)& \equiv 4a\cdot b\\ \mathrm{tr}(a/b/c/d/)& \equiv 4[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)]\\ \mathrm{tr}({\gamma }_{5}a/b/c/d/)& \equiv 4i{ϵ}_{\mu \nu \lambda \sigma }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\lambda }{d}^{\sigma }\\ {\gamma }_{\mu }a/{\gamma }^{\mu }& \equiv -2a/\\ {\gamma }_{\mu }a/b/{\gamma }^{\mu }& \equiv 4a\cdot b\cdot I_4\\ {\gamma }_{\mu }a/b/c/{\gamma }^{\mu }& \equiv -2c/b/a/\\ \end{array}$

где

${ϵ}_{\mu \nu \lambda \sigma }$ — символ Леви-Чивиты.

С четырьмя импульсами

Часто используя уравнение Дирака и решая его для сечений, можно найти обозначение косой черты для четырёхимпульса. Используя базис Дирака для гамма-матриц,

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

и определение четырёхимпульса

$p_{\mu }=(E,-p_x,-p_y,-p_z)$

получим

$\begin{array}{cc}p/& ={\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }={\gamma }^0{p}_0+{\gamma }^i{p}_i\\ & =\left[\begin{array}{cc}{p}_0& 0\\ 0& -p_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i{p}_i\\ -{\sigma }^i{p}_i& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}E& -\sigma \cdot \overrightarrow{p}\\ \sigma \cdot \overrightarrow{p}& -E\end{array}\right].\end{array}$

Аналогичные результаты имеют место в других базисах, таких как базис Вейля.

См. также

• Основа вейля
• Гамма-матрицы