Спектральное представление Челлена — Лемана

Спектральное представление Каллена — Лемана (представление Лемана) даёт общее выражение для (упорядоченной по времени) двухточечной корреляционной функции в квантовой теории поля с взаимодействием как суммы свободных пропагаторов. Оно было открыто Гуннаром Челленном в 1952 году и независимо Гарри Леманном в 1954 году. Это представление можно записать, используя метрику с отрицательной сигнатурой, как

$\mathrm{\Delta }(p)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ},$

где $\rho ({\mu }^2)$ — функция спектральной плотности, которая должна быть положительно определённой. В калибровочной теории это последнее условие не может быть выполнено, но, тем не менее, можно обеспечить спектральное представление. Представление относится к непертурбативным методам квантовой теории поля.

Вывод

В следующем выводе используется метрика с отрицательной сигнатурой. Чтобы получить спектральное представление для пропагатора поля $\mathrm{\Phi }(x)$, рассматривается полный набор состояний $\{|n⟩\}$ так что для двухточечной корреляционной функции можно написать

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\sum _n⟨0|\mathrm{\Phi }(x)|n⟩⟨n|{\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩.$

Теперь мы можем использовать инвариантность к группе Пуанкаре вакуума, чтобы записать

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\sum _n{e}^{-i{p}_n\cdot (x-y)}|⟨0|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2.$

Далее введём функцию спектральной плотности

$\rho (p^2)\theta (p_0)(2\pi {)}^{-3}=\sum _n{\delta }^4(p-p_n)|⟨0|\mathrm{\Phi }(0)|n⟩{|}^2$ .

Где мы использовали тот факт, что наша двухточечная функция, будучи функцией $p_{\mu }$, может зависеть только от квадрата $p^2$. Кроме того, все промежуточные состояния имеют $p^2\ge 0$ и $p_0>0$. Сразу становится понятно, что функция спектральной плотности действительна и положительна. Можно написать

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2{e}^{-ip\cdot (x-y)}\rho ({\mu }^2)\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2)$

и, меняя местами интегрирование это выражение записывается как

$⟨0|\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2){\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x-y;{\mu }^2)$

где

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }(x-y;{\mu }^2)=\int \frac{d^{4}p}{(2\pi {)}^3}{e}^{-ip\cdot (x-y)}\theta (p_0)\delta (p^2-{\mu }^2)$ .

Из теоремы CPT также известно, что идентичное выражение справедливо для $⟨0|{\mathrm{\Phi }}^{†}(x)\mathrm{\Phi }(y)|0⟩$ и таким образом мы приходим к выражению для упорядоченного по времени произведения полей

$⟨0|T\mathrm{\Phi }(x){\mathrm{\Phi }}^{†}(y)|0⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{\mu }^2\rho ({\mu }^2)\mathrm{\Delta }(x-y;{\mu }^2)$

где введенено обозначение

$\mathrm{\Delta }(p;{\mu }^2)=\frac{1}{p^2-{\mu }^2+iϵ}$

для пропанатора свободных частиц. Теперь, когда у нас есть точный пропагатор, заданный упорядоченной по времени двухточечной функцией, мы получили спектральное разложение.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book