Строго нормированное пространство

Единичный шар на средней фигуре строго выпуклый, в то время как остальные два — нет (их границы содержат отрезки прямых).

В математике строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.

Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных $x,y\in X$, удовлетворяющих условию $\Vert x+y\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$, найдётся такое $\lambda \in ℝ$, что $y=\lambda x$.

Свойства строго нормированных пространств

• Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для $\mathrm{\forall }x\in X$ найдется не более одного элемента $u\in L$ такого, что $\rho (x,L)=\Vert x-u\Vert$.

Элемент $u$ называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.

Теорема. Пусть X — нормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для $\mathrm{\forall }x\in E$ существует элемент наилучшего приближения $u\in L$.

При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.

• Каждый шар строго нормированного пространства — строго выпуклое множество. Верно и обратное, если в нормированном пространстве каждый шар — строго выпуклое множество, то данное пространство является строго нормированным.
• Нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда из условия $\mathrm{\forall }x,y\in X:\Vert x\Vert =1,\Vert y\Vert =1,x\ne y$ всегда следует что $\Vert x+y\Vert <2$.

Примеры строго нормированных пространств

• ${ℝ}^2$ с нормой $\Vert 𝐱{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$. Однако нормы $\Vert 𝐱{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ и $\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x_1|,|x_2|\}$ на ${ℝ}^2$, эквивалентные норме $\Vert \cdot {\Vert }_2$ не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок).
• $L_p$, где $1<p<\mathrm{\infty }$. Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского.
• Гильбертовы пространства

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга