Суперкорень

В математике суперко́рень — это одна из двух обратных функций тетрации.

Так же как возведение в степень имеет две обратных функции (корень и логарифм), так и тетрация имеет две обратных функции: суперкорень и суперлогарифм. Это обусловлено некоммутативностью гипероператора при $N>2$. Суперкорень не является элементарной функцией.

Определение

Для любого неотрицательного целого числа $n⩾0$ суперкорень $n$-ой степени из $a>0$ можно определить, как одно из решений уравнения: ${}^{n}x=a$.

График функции суперкорня второй степени

Суперкорень — неоднозначная функция. Так при $n=2$ и $e^{-\frac{1}{e}}⩽a<1$ уравнение вида ${}^{2}x=a$ имеет два суперкорня из $a$, причём оба они будут положительны и меньше $1$. Эта двойственность значений объясняется тем, что функция $f(x)={}^{n}x$ немонотонна.

Суперкорень не всегда можно извлечь даже из положительного числа, что является следствием наличия у функций вида $f(x)={}^{n}x$ глобального минимума. Например, при $n=2$ производная функции $f(x)={}^{2}x$ имеет одну точку экстремума $x=\frac{1}{e}$, из-за чего нахождение значений суперкорня второй степени из $x$ при $0<x<(\frac{1}{e}{)}^{\frac{1}{e}}$ становится невозможным (см. график).

Примеры

Примеры извлечения суперкорня из положительного действительного числа:

• Суперкорень четвёртой степени из 65536 равен 2, так как $2^{2^{2^2}}=65536;$
• Суперкорень второй степени из 27 равен 3, так как $3^3=27;$
• Суперкорень второй степени из $\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два значения: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$, так как $(\frac{1}{4}{)}^{\frac{1}{4}}=(\frac{1}{2^2}{)}^{\frac{1}{4}}=(\frac{1}{2}{)}^{2\times \frac{1}{4}}=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Суперкорень второй степени и функция Ламберта

Функция суперкорня второй степени выражается через W-функцию Ламберта. А именно решением уравнения $x^x=a$ является

$\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{t}(a)=e^{W(\mathrm{l}\mathrm{n}(a))}$.

Так как функция Ламберта $W(z)$ является многозначной функцией на интервале $(-\frac{1}{e},0)$, то и извлечения суперкорня второй степени является неоднозначной на $(e^{-1/e},1)$.

Открытые проблемы

• Ни для какого целого $n>3$ неизвестно, является ли корень уравнения ${}^{n}x=2$ рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.