Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости (или двумерном многообразии) знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.

Теорема Бендиксона является частным случаем критерия Дюлака.

Строгая формулировка

Рассмотрим векторное поле $v(x)$, заданное в некоторой односвязной области $U$ $(x\in U\subset {ℝ}^2)$. Допустим, что во всей области $U$ дивергенция поля $v$ не меняет знак и отлична от нуля. Тогда фазовые кривые автономного дифференциального уравнения $\dot{x}=v(x)$ не имеют замкнутых траекторий, целиком лежащих в $U$.

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что дивергенция имеет положительный знак. Если поле $v$ записывается в координатах как $v(x)=(v_1(x_1,x_2),v_2(x_1,x_2))$, то условие теоремы записывается в виде

$\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}>0$

для всех $x\in U$.

Доказательство

Будем рассуждать от противного. Предположим, что существует замкнутая траектория $\gamma \subset U$. Рассмотрим поток поля $v$ через контур $\gamma$:

$h=\underset{\gamma }{\oint }v(x)dl.$

Поскольку поле касается контура, этот поток равен нулю. С другой стороны, согласно формуле Грина, этот поток равен интегралу от дивергенции поля по области $V$, ограниченной $\gamma$ и лежащей в $U$ в силу односвязности последней:

$h=\underset{V}{\int }\mathrm{div}v(x)d{x}_{1}d{x}_2>0.$

Последнее неравенство справедливо в виду знакопостоянства подынтегрального выражения. Противоречие доказывает теорему.

Литература

• Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001., с. 306.