Критерий Дюлака

Критерий Дюлака — теорема в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, сформулированная французским математиком Анри Дюлаком. Представляет собой достаточное условие того, что в односвязной области на плоскости векторное поле не имеет замкнутых траекторий (циклов) и полициклов.

Формулировка

Векторное поле, имеющее замкнутую траекторию, внутри неё имеет область с положительной и область с отрицательной дивергенцией. На рисунке они изображены разными цветами.

Пусть на плоскости задано непрерывно дифференцируемое векторное поле, то есть система обыкновенных дифференциальных уравнений

$\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$.

Если в односвязной области $D\subseteq {ℝ}^2$ существует гладкая функция $B(x,y)$, такая, что выражение

$\frac{\partial (B(x,y)\cdot f(x,y))}{\partial x}+\frac{\partial (B(x,y)\cdot g(x,y))}{\partial y}$

знакопостоянно и не обращается в ноль на $D$, то в этой области не существует замкнутых кривых, состоящих из траекторий системы.

Функцию $B(x,y)$ называют функцией Дюлака. Частный случай критерия Дюлака с функцией $B(x,y)=1$ называется теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий.

Литература

• Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (2-е изд., доп.) М.: Наука, 1990. 486 с.
• Carmen Charles Chicone. Ordinary differential equations with applications
• N. F. Britton. Essential mathematical biology
• Henryk Zoladek. The monodromy group