Теорема Бруна — Тичмарша

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее Шаблон:Не переведено 5 распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и Шаблон:Не переведено 5.

Теорема утверждает, что если $\pi (x;q,a)$ равно числу простых чисел $p$, сравнимых с $a$ по модулю $q$ при $p⩽x$, то:

$\pi (x;q,a)⩽\frac{2x}{\phi (q)\log (x/q)}$

для всех $q<x$.

История

Теорема доказана с помощью Шаблон:Не переведено 5 Монтгомери и Воном в 1973 годуШаблон:Sfn. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем $1+o(1)$).

Усиления

Если $q$ относительно мало, то есть, $q⩽x^{9/20}$, то существует граница лучше:

$\pi (x;q,a)⩽\frac{(2+o(1))x}{\phi (q)\ln (x/q^{3/8})}$

Это показал МотохасиШаблон:Sfn, использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремой Дирихле

В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

$\pi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)\log (x)}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right)$,

но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на $q<(\log x{)}^c$ для константы $c$, и это Шаблон:Не переведено 5.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья