Теорема Вайнберга о связи полей с частицами

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году . Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотонаШаблон:Sfn.

Формулировка

Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениямиШаблон:Sfn:

${\alpha }_{\sigma }(p)=\sum _{\tau =-j}^j{X}_{\sigma \tau }(p)a_{\tau }(p),$

${\beta }_{\sigma }^{+}(p)=\sum _{\tau =-j}^j{Y}_{\sigma \tau }(p)b_{\tau }^{+}(p).$

Пояснения

Оператор $a_{\sigma }(p{)}^{+}$ является оператором рождения новой частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $a_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $b_{\sigma }(p{)}^{+}$ является оператором рождения новой античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Оператор $b_{\sigma }(p)$ является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом $p$ и состоянием поляризации $\sigma$. Состояние поляризации $\sigma$ может принимать значения $\sigma =-j,-j+1,..,j-1,j$, где $j$ — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

$[a_{\sigma }(p),a_{\tau }^{+}(p){]}_{\pm }={\delta }_{\sigma \tau }\delta (p-p^{\prime }),$

$[b_{\sigma }(p),b_{\tau }^{+}(p){]}_{\pm }={\delta }_{\sigma \tau }\delta (p-p^{\prime }).$

Выражения ${\alpha }_{\sigma }(p)$ и ${\beta }_{\sigma }^{+}(p)$ обозначают фурье-образы квантованного поля ${\psi }_{\sigma }(x)$, из формулы

${\psi }_{\sigma }(x)={(2\pi )}^{-\frac{3}{2}}\int \{{\alpha }_{\sigma }(p)e^{-i(px)}+{\beta }_{\sigma }^{+}{e}^{i(px)}\}\delta (p^2-m^2)\theta (p^0)dp,$

где $(px)=p^0{x}^0-p^1{x}^1-p^2{x}^2-p^3{x}^3$, функция $\theta (p^0)$ равна единице при $p^0>0$ и нулю при $p^0<0$Шаблон:Sfn. Выражения $X_{\sigma \tau }(p)$ и $Y_{\sigma \tau }(p)$ обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы ЛоренцаШаблон:Sfn.

Следствия

С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами Шаблон:Sfn может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.

Литература

• Шаблон:Книга