Теорема Гливенко — Кантелли

Шаблон:Нет ссылок Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_1,\dots ,X_n,\dots$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F$. Пусть $\hat{F}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{x\in ℝ}{sup}|\hat{F}(x)-F(x)|=0$ почти наверное,

где символ $sup$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения $F$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

Доказательство

Обозначим $D_n(\omega )=\underset{x\in ℝ}{sup}|\hat{F}(x)-F(x)|$. Так как обе функции распределения непрерывны справа, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестности $D_n(\omega )=\underset{x\in \mathbb{Q}}{sup}|\hat{F}(x)-F(x)|$

Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то $D_n$ — случайная величина

Зафиксируем $N\in \mathbb{N}$ и положим $x_{N,k}=inf\{x\in ℝ:F(x)\ge \frac{k}{N}\}$. Легко заметить, что $x_{N,0}=-\mathrm{\infty };x_{N,N}=\mathrm{\infty };\mathrm{\forall }k\in \{1,\dots ,N-1\}\hookrightarrow x_{N,k}$ конечно

Рассмотрим теперь $x$ на произвольном промежутке $[x_{N,k},x_{N,k+1})$ и оценим интересующую нас разность через значения на концах:

$\hat{F}(x)-F(x)\le \hat{F}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})=\hat{F}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+F(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})\le \hat{F}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+\frac{1}{N}$

Аналогично прибавлением и вычитанием $F(x_{N,k})$ доказывается, что $\hat{F}(x)-F(x)\ge \hat{F}(x_{N,k})-F(x_{N,k})-\frac{1}{N}$

Получаем, что $D_n\le \underset{1\le k\le N-1}{max}(max(|\hat{F}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)|,|\hat{F}(x_{N,k})-F(x_{N,k})|)+\frac{1}{N})$

Теперь по следствию из УЗБЧ имеем $\hat{F}(x)\stackrel{\text{п.н.}}{\to }F(x),\hat{F}(x-0)=\hat{P}((-\mathrm{\infty },x))\stackrel{\text{п.н.}}{\to }P((-\mathrm{\infty },x))\Rightarrow$ для достаточно больших $N\in \mathbb{N}$ и почти всех $\omega \in \mathrm{\Omega }\hookrightarrow \overline{\underset{n}{lim}}\underset{x\in ℝ}{sup}|\hat{F}(x)-F(x)|\stackrel{\text{п.н.}}{<}\epsilon \Rightarrow D_n(\omega )\stackrel{\text{п.н.}}{\to }0$

См. также

• Теорема Колмогорова.