Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — выборка объёма $n$ , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения $F(x)$. Пусть $F_n(x)$ — выборочная функция распределения. Тогда

$\sqrt{n}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in ℝ}|F_n(x)-F(x)|\to K$ по распределению при $n\to \mathrm{\infty }$,

где $K$  — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок $1/\sqrt{n}$.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция $F(x)$:

$P(\sqrt{n}{D}_n\le k_{\gamma })=P(F_n(x)-\frac{k_{\gamma }}{\sqrt{n}}\le F(x)\le F_n(x)+\frac{k_{\gamma }}{\sqrt{n}},x\in ℝ)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }K(k_{\gamma })=\gamma ,$

$D_n=\underset{x}{\sup }|F_n(x)-F(x)|,$ где $k_{\gamma }$ — квантиль уровня $\gamma$ закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью $\gamma$ при $n\to \mathrm{\infty }F(x)$ находится в указанном интервале.

Вероятность $\gamma$ называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической $\gamma$-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

Литература

• Боровков А. А. Математическая статистика. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — С. 390. — ISBN 978-5-8114-1013-2.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.