Распределение Колмогорова

Распределе́ние Колмого́рова в теории вероятностей — это абсолютно непрерывное распределение, широко используемое в математической статистике для оценки распределения выборки.

Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Колмогорова, если её функция распределения $F_X$ имеет вид:

$F_X(x)=K(x)=\{\begin{array}{cc}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{e}^{-2k^2{x}^2},& x>0;\\ 0,& x⩽0.\end{array}$

Обозначается: $X\sim \mathrm{K}$.

Связь с другими объектами теории вероятностей

• Случайная величина

$X=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|B(t)|,$

где $B(t)$ — броуновский мост, имеет распределение Колмогорова.

• Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — выборка объёма $n$, порождённая случайной величиной с непрерывной функцией распределения $F(x)$. Пусть $F_n(x)$ — выборочная функция распределения. Если ввести обозначение

$D_n=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in ℝ}|F_n(x)-F(x)|,$ то выполняется

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\sqrt{n}{D}_n⩽t)=K(t)$

Утверждение носит название теоремы Колмогорова. Его можно использовать для нахождения доверительного интервала функции распределения $F(x)$.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова;
• Теорема Колмогорова;
• Колмогоров, Андрей Николаевич.

Литература

• J. Durbin, Regional Conf. Series on Applied Math. 9 (SIAM, 1973)).