Броуновский мост

Броуновское движение, закреплённое в обоих концах, — броуновский мост.

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) $B(t)$, когда начальная и конечная точки совпадают: $B(0)=B(1)=0$. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке $W(0)=0$, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале $B(0)=0$, и в конце $B(1)=0$.

Свойства

Броуновский мост имеет среднее $E\left[B_t\right]=0$ и дисперсию $\mathrm{D}\left[B_t\right]=t(1-t)$, что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация $Cov[B_s,B_t]=s(1-t)$, где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

$B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)$

В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

$W(t)=B\left(t\right)+tZ$

будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

$W(t)=B\left(\frac{t}{T}\right)+\frac{t}{\sqrt{T}}Z$

Броуновский мост является следствием Шаблон:Iw применительно к Шаблон:Iw. Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Используется при доказательстве теоремы Колмогорова. Пусть функция распределения $F(x)$ непрерывна, рассмотрим случайную величину

$D_n=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in ℝ}|{\hat{F}}_n(x)-F(x)|$, где

${\hat{F}}_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n𝐈\{X_j⩽x\}$ – эмпирическая функция распределения.

Пусть $(W_t,t\in [0,1])$ –  винеровский процесс.

Тогда $\sqrt{n}\cdot D_n\stackrel{d}{⟶}\max {\mathrm{\backslash limits}}_{t\in [0,1]}|W_t-t{W}_1|$, то есть максимальный разрыв $D_n$ между истинной функцией распределения и эмпирической (которую легко построить по имеющейся конечной выборке), умноженный на $\sqrt{n}$ (отвечает за скорость сходимости), стремится по распределению к максимуму на отрезке модуля броуновского моста.

Общий случай

В общем случае, когда $B(t_1)=a$ и $B(t_2)=b$, распределение $B(t)$ при $t\in (t_1,t_2)$ является нормальным:

$B(t)\sim N(a+\frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a),\frac{(t-t_1)(t_2-t)}{t_2-t_1})$

Замечание

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также

• Гауссовский процесс
• Винеровский процесс
• Шаблон:Lang-en