Теорема Жордана о конечных линейных группах

Теорема Жордана теорема о конечных линейных группах гарантирует наличие большой коммутативной подгруппы в любой конечной линейной группе.

В первоначальном виде доказана Камиллем Жорданом, позже несколько раз улучшена.

Формулировка

Для любой размерности $n$, существует число $f(n)$ такое, что любая конечная подгруппа $G$ группы $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℂ)$ обратимых матриц с комплексными компонентами содержит нормальную коммутативную подгруппу $H$ с индексом $[G:H]\le f(n)$

Вариации и обобщения

• Шур доказал более общий результат для периодических групп, при этом дал следующую оценку:

  $f(n)={(\sqrt{8n}+1)}^{2n^2}-{(\sqrt{8n}-1)}^{2n^2}$

• Для конечных групп, более точную оценку доказал Шаблон:Iw:

  $f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi (n+1)+1)}$

где $\pi (n)$ есть функция распределения простых чисел.

• Эта оценка была улучшена Шаблон:Iw, который заменил "12" на "6".
• Впоследствии, Майкл Коллинз, с помощью классификации конечных простых групп, показал, что $f(n)=(n+1)!$ при $n\ge 71$, и дал почти полное описаний поведения $f(n)$ при малых $n$.