Периодическая группа
Периодическая группа — группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Понятие периодической группы не следует путать с понятием циклической группы.
Экспонента (или период) периодической группы — это наименьшее общее кратное порядков элементов , если таковое существует. Любая конечная группа имеет экспоненту — это делитель числа .
Одна из ключевых задач теории групп — проблема Бёрнсайда — посвящена вопросу о соотношении между периодическими группами и конечными группами в классе конечнопорождённых групп, основной вопрос — следует ли из существования экспоненты конечность группы (в общем случае, ответ отрицательный).
Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу , как и группу Прюфера, являющуюся подгруппой . Другой пример — объединение всех диэдральных групп. Ни одна из этих групп не имеет конечного числа образующих, и любая периодическая линейная группа с конечным числом образующих конечна. Примеры бесконечных периодических групп с конечным числом образующих были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем (теорема Голода — Шафаревича), а также Алёшиным и Григорчуком с использованием теории автоматов.
Математическая логика
Одно из примечательных свойств периодических групп состоит в том, что они не могут быть формализованы средствами логики первого порядка. В противном случае потребовалась бы аксиома вида:
- ,
содержащая бесконечную дизъюнкцию, а потому неприемлемая. Невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию с помощью бесконечного числа аксиом — из Шаблон:Не переведено 5 следует, что никакое множество формул первого порядка не может описать класс периодических группШаблон:Sfn.
Связанные понятия
Подгруппа кручения абелевой группы — подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Абелева группа кручения — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Шаблон:Не переведено 5 — абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом, имеющим конечный порядок.