Теорема Каулинга

Теоре́ма Ка́улинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле.

Формулировка теоремы

Стационарное осесимметричное динамо невозможно.

Дипольное поле

В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю.

$B=\frac{1}{r^3}$

Пусть поле линейно растет с увеличением Шаблон:Math

$(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}{)}_{\phi }=\frac{\partial B_r}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial r}\ne 0,{\overrightarrow{j}}_{\phi }\ne 0$

$\underset{O}{\oint }{\overrightarrow{j}}_{\phi }\overrightarrow{dl}=2\pi R{\overrightarrow{j}}_{\phi }\ne 0$

$\underset{O}{\oint }{\overrightarrow{j}}_{\phi }\overrightarrow{dl}=\sigma \underset{O}{\oint }[\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}}{c}]\overrightarrow{dl}$

Пусть $[\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}]\ne 0$, тогда $v_z{B}_{\phi }-v_{\phi }{B}_z\ne 0$, но на линии O и $v_{\phi }$, и $B_z$ равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть $[\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}]=0$. Тогда имеем

$\underset{O}{\oint }{\overrightarrow{j}}_{\phi }\overrightarrow{dl}=\sigma \underset{O}{\oint }\overrightarrow{E}\overrightarrow{dl}=\sigma \int \mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{E}\overrightarrow{ds}=-\frac{\sigma }{c}\int \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\overrightarrow{ds}=-\frac{\sigma }{c}\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$

где введено обозначение для потока магнитного поля через контур:

$\mathrm{\Phi }=\underset{0}{\overset{R}{\int }}2\pi r{B}_{z}dr$

Таким образом, имеем неравенство

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}\ne 0$

то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно.

Тороидальное поле

Рассмотрим тороидальное магнитное поле

$B_{\phi }\ne 0$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{B_{\phi }}{r\rho }\right)=\frac{c^2}{4\pi \sigma \rho r}\{\frac{\partial }{\partial r}\left[\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{B}_{\phi }\right)\right]+\frac{{\partial }^2{B}_{\phi }}{\partial z^2}\}$

где

$\frac{c^2}{4\pi \sigma \rho r}$ — коэффициент диффузии.

Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно.

Существующие динамо

Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры:

• Динамо Пономаренко — винтовое динамо.
• ABC-динамо
• Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент.

См. также

• Число Каулинга