Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости

Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах

Формулировка теоремы

Будем предполагать, что ${\xi }_1,{\xi }_2...$ последовательность независимых случайных величин, $S_n={\xi }_1+{\xi }_2+...+{\xi }_n$ и $A$ — множество тех элементарных исходов $\omega$, где ряд $\sum {\xi }_n(\omega )$ сходится к конечному пределу.

Первая часть

Пусть $M{\xi }_n=0,n⩾1$. Тогда, если $\sum M{\xi }_n^2<\mathrm{\infty }$, то ряд $\sum {\xi }_n$ сходится с вероятностью единица.

Вторая часть

Если к тому же случайные величины ${\xi }_n,n⩾1$ равномерно ограничены: $P(|{\xi }_n|⩽c)=1,c<\mathrm{\infty }$, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда $\sum {\xi }_n$ следует первая часть.

Доказательство

Первой части

Последовательность $(S_n),n⩾1$, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единицаШаблон:Sfn, то есть Шаблон:EF

В силу неравенства Колмогорова:

$P\{\underset{k⩾1}{\sup }|S_{n+k}-S_n|⩾\epsilon \}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P\{\underset{1⩽k⩽N}{\max }|S_{n+k}-S_n|⩾\epsilon \}⩽\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=n}^{n+N}M{\xi }_k^2}{{\epsilon }^2}=\frac{\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}M{\xi }_k^2}{{\epsilon }^2}$

Поэтому, если $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}M{\xi }_k^2<\mathrm{\infty }$, то выполнено Шаблон:Eqref, следовательно, ряд $\sum {\xi }_k$ сходится с вероятностью единица.

Второй части

Пусть ряд $\sum {\xi }_k$ сходится. Тогда в силу Шаблон:Eqref для достаточно больших $n$: Шаблон:EF В силу неравенства Колмогорова $P\{\underset{k⩾1}{\sup }|S_{n+k}-S_n|⩾\epsilon \}⩾1-\frac{(c+\epsilon {)}^2}{\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}M{\xi }_k^2}$.

Поэтому, если допустить, что $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}M{\xi }_k^2=\mathrm{\infty }$, то получим

$P\{\underset{k⩾1}{\sup }|S_{n+k}-S_n|⩾\epsilon \}=1$, что противоречит Шаблон:Eqref ${\displaystyle }$.

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)