Неравенство Колмогорова

Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.

ФормулировкаШаблон:Sfn: для определённых на общем вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega },F,Pr)$ независимых случайных величин $X_1,\dots ,X_n:\mathrm{\Omega }\to R$ с математическими ожиданиями $M{X}_i=0,i⩽n$ и дисперсиями $Var[X_i]<+\mathrm{\infty }$ и произвольной величины $\lambda >0$ выполнено: Шаблон:EF гдe $S_k=X_1+\dots +X_k$.

Если к тому же $Pr(|X_i|⩽c)=1,i⩽n$, то

Доказательство

Обозначим

$A=\{\underset{1⩽k⩽n}{max}|S_k|⩾\lambda \}$

$A_k=\{|S_i|<\lambda ,i=1,\mathrm{...},k-1,|S_k|⩾\lambda \},1⩽k⩽n$

Тогда $A=\sum A_k$ и

$M{S}_n^2⩾M{S}_n^2{I}_A=\sum _{k=1}^{n}M{S}_n^2{I}_{A_k}$ (Где $I$ — индикатор)

Но

$M{S}_n^2{I}_{A_k}=M{(S_k+(X_{k+1}+\mathrm{...}+X_n))}^2{I}_{A_k}=$

$=M{S}_k^2{I}_{A_k}+2M{S}_k(X_{k+1}+\mathrm{...}+X_n)I_{A_k}+M{(X_{k+1}+\mathrm{...}+X_n)}^2{I}_{A_k}⩾M{S}_k^2{I}_{A_k},$

поскольку $M{S}_k(X_{k+1}+\mathrm{...}+X_n)I_{A_k}=M{S}_k{I}_{A_k}M(X_{k+1}+\mathrm{...}+X_n)=0$ в силу предположенной независимости и условий $M{X}_i=0,i⩽n$ Поэтому

$\sum _{k=1}^{n}Var[X_i]=M{S}_n^2⩾\sum _{k=1}^{n}M{S}_n^2{I}_{A_k}⩾\sum _{k=1}^{n}M{S}_k^2{I}_{A_k}⩾{\lambda }^2\sum _{k=1}^{n}M{I}_{A_k}={\lambda }^2\sum _{k=1}^{n}Pr(A_k)={\lambda }^{2}Pr(A)$

что и доказывает Шаблон:Eqref.

Для доказательства Шаблон:Eqref заметим, что Шаблон:EF С другой стороны, на множестве $A_k$

$|S_{k-1}|⩽\lambda ,|S_k|⩽|S_{k-1}|+|X_k|⩽\lambda +c$

и, значит,

$M{S}_n^2{I}_A=\sum _{k}M{S}_k^2{I}_{A_k}+\sum _{k}M(I_{A_k}(S_n-S_k{)}^2)⩽(\lambda +c{)}^2\sum _{k}Pr(A_k)+\sum _{k=1}^{n}Pr(A_k)\sum _{j=k+1}^{n}M{X}_j^2⩽$

Шаблон:EF Из Шаблон:Eqref и Шаблон:Eqref находим, что:

$Pr(A)⩾\frac{M{S}_n^2-{\lambda }^2}{(\lambda +c{)}^2+M{S}_n^2-{\lambda }^2}=1-\frac{(\lambda +c{)}^2}{(\lambda +c{)}^2+M{S}_n^2-{\lambda }^2}⩾1-\frac{(\lambda +c{)}^2}{M{S}_n^2}=1-\frac{(\lambda +c{)}^2}{\mathrm{Var}[S_n]}$

Литература

• Шаблон:Книга (Theorem 22.4)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)