Неравенство Колмогорова

Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.

ФормулировкаШаблон:Sfn: для определённых на общем вероятностном пространстве $(Ω, F, P r)$ независимых случайных величин $X_{1}, \dots, X_{n} : Ω \to R$ с математическими ожиданиями $M X_{i} = 0, i ⩽ n$ и дисперсиями $V a r [X_{i}] < + \infty$ и произвольной величины $λ > 0$ выполнено: Шаблон:EF гдe $S_{k} = X_{1} + \dots + X_{k}$ .

Если к тому же $\Pr (| X_{i} | ⩽ c) = 1, i ⩽ n$ , то

Шаблон:EF

Доказательство

Обозначим

A = {\max_{1 ⩽ k ⩽ n} | S_{k} | ⩾ λ}

A_{k} = {| S_{i} | < λ, i = 1, . . ., k - 1, | S_{k} | ⩾ λ}, 1 ⩽ k ⩽ n

Тогда $A = \sum A_{k}$ и

M S_{n}^{2} ⩾ M S_{n}^{2} I_{A} = \sum_{k = 1}^{n} M S_{n}^{2} I_{A_{k}}

(Где

I

— индикатор)

Но

M S_{n}^{2} I_{A_{k}} = M {(S_{k} + (X_{k + 1} + . . . + X_{n}))}^{2} I_{A_{k}} =

= M S_{k}^{2} I_{A_{k}} + 2 M S_{k} (X_{k + 1} + . . . + X_{n}) I_{A_{k}} + M {(X_{k + 1} + . . . + X_{n})}^{2} I_{A_{k}} ⩾ M S_{k}^{2} I_{A_{k}},

поскольку $M S_{k} (X_{k + 1} + . . . + X_{n}) I_{A_{k}} = M S_{k} I_{A_{k}} M (X_{k + 1} + . . . + X_{n}) = 0$ в силу предположенной независимости и условий $M X_{i} = 0, i ⩽ n$ Поэтому

\sum_{k = 1}^{n} V a r [X_{i}] = M S_{n}^{2} ⩾ \sum_{k = 1}^{n} M S_{n}^{2} I_{A_{k}} ⩾ \sum_{k = 1}^{n} M S_{k}^{2} I_{A_{k}} ⩾ λ^{2} \sum_{k = 1}^{n} M I_{A_{k}} = λ^{2} \sum_{k = 1}^{n} \Pr (A_{k}) = λ^{2} P r (A)

что и доказывает Шаблон:Eqref.

Для доказательства Шаблон:Eqref заметим, что Шаблон:EF С другой стороны, на множестве $A_{k}$

| S_{k - 1} | ⩽ λ, | S_{k} | ⩽ | S_{k - 1} | + | X_{k} | ⩽ λ + c

и, значит,

M S_{n}^{2} I_{A} = \sum_{k} M S_{k}^{2} I_{A_{k}} + \sum_{k} M (I_{A_{k}} (S_{n} - S_{k})^{2}) ⩽ (λ + c)^{2} \sum_{k} P r (A_{k}) + \sum_{k = 1}^{n} P r (A_{k}) \sum_{j = k + 1}^{n} M X_{j}^{2} ⩽

Шаблон:EF Из Шаблон:Eqref и Шаблон:Eqref находим, что:

P r (A) ⩾ \frac{M S_{n}^{2} - λ^{2}}{(λ + c)^{2} + M S_{n}^{2} - λ^{2}} = 1 - \frac{(λ + c)^{2}}{(λ + c)^{2} + M S_{n}^{2} - λ^{2}} ⩾ 1 - \frac{(λ + c)^{2}}{M S_{n}^{2}} = 1 - \frac{(λ + c)^{2}}{Var [S_{n}]}

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Неравенство Колмогорова

Доказательство

Примечания

Литература

Навигация

Поиск