Теорема Куранта — Фишера

Шаблон:Не путать Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе.

Формулировка

${\lambda }_k=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)$

$A$ — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

$S$ — единичная сфера,

$e=e_1,\dots ,e_n$ — ортонормированный базис пространства $V$, состоящий из собственных векторов оператора $A$,

${\lambda }_k$ — $k$-ое собственное значение оператора $A$ и ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n$

$L_k$ — $k$-мерное подпространство $V$.

Доказательство

$p=n-k+1$,
$L_k$ — $k$-мерное подпространство $V$,
$W_{n-k+1}$ — линейная оболочка векторов $e_k\dots e_n$.
$\dim L_k+\dim W_{n-k+1}=n+1$.
Откуда следует, что $L_k\cap W_{n-k+1}\ne \varnothing$. Пусть $x_0\in L_k\cap W_{n-k+1}$ и $\Vert x_0\Vert =1$.
Так как ${\lambda }_k=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in W_{n-k+1}\cap S}(Ax,x),$ то $(A{x}_0,x_0)\ge {\lambda }_k$.
С другой стороны: так как $x_0\in L_k$ то

$\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)\ge {\lambda }_k$

$\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)\ge {\lambda }_k$

Равенство достигается при $L_k=L(e_1\dots e_k)$.

Дополнительно

Очевидно, что $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{L_k}\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_k\cap S}(Ax,x)=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{L_{n-k+1}}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)$.

Литература

1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
2. Ланкстер. Теория Матриц
3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия