Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия)

Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.

Формулировка

Сферический треугольник.

Пусть дан сферический треугольник со сторонами $a,b,c$, малыми по сравнению с радиусом сферы $R$, углами $\alpha ,\beta ,\gamma$ и эксцессом $\epsilon =\alpha +\beta +\gamma -\pi$. Построим на плоскости треугольник со сторонами $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$, равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то $a^{\prime }=aR,b^{\prime }=bR,c^{\prime }=cR$. Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через ${\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime }$. Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения:

${\alpha }^{\prime }\approx \alpha -\frac{\epsilon }{3}$

${\beta }^{\prime }\approx \beta -\frac{\epsilon }{3}$

${\gamma }^{\prime }\approx \gamma -\frac{\epsilon }{3}$

Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.

История

Эта теорема была сформулирована А.М.Лежандром в 1787 году и доказана им в 1798 году. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда Ш.М. де ла Кондамин использовал её при обработке градусных измерений перуанской экспедиции.