Теорема Ли

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Формулировка

Пусть $\pi :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$ есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда $\pi (𝔤)$ имеет инвариантный флаг подпространств $V=V_0\supset V_1\supset \cdots \supset V_n=0,\mathrm{codim}{V}_i=i$; то есть $\pi (X)V_i\subset V_i$ для каждого $X\in 𝔤$ и i.

Замечания

• Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в $V$ такой, что все линейные преобразования $\pi (𝔤)$ задаются верхнетреугольными матрицaми.
  • Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

• Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность $V$ меньше характеристики поля.

Следствия

• Теорема применима к присоединенному представлению $\mathrm{ad}:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$ (конечномерной) разрешимой алгебры ли $𝔤$. Таким образом, можно выбрать базис в $𝔤$, по отношению которого $\mathrm{ad}(𝔤)$ состоит из верхних треугольных матриц.
  • Из этого следует, что для любых $x,y\in 𝔤$, $\mathrm{ad}([x,y])=[\mathrm{ad}(x),\mathrm{ad}(y)]$ имеет нулевую диагональ; значит $\mathrm{ad}([x,y])$ нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что $[𝔤,𝔤]$ является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли $𝔤$ над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра $D𝔤=[𝔤,𝔤]$ нильпотентна.

См. также

• Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли.
• Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.