Теорема Линника

Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.

Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.

Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях.

Формулировка

Шаблон:Рамка Для взаимопростых чисел $a,d$ $(a<d)$ обозначим через $p(a,d)$ минимальное число в прогрессии вида $a+nd,n=0,1,2,\dots$, являющееся простым.

Существуют такие абсолютные константы $c,L$, что для любых взаимопростых $a,d$ $(a<d)$ выполняется $p(a,d)<c{d}^L$ Шаблон:Конец рамки

Другие свойства и гипотезы

Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что

$p(a,d)\le \phi (d{)}^2{(\ln d)}^2$,

где $\phi$ — функция Эйлера.

Существует также гипотеза, что $p(a,d)<d^2$

Улучшение оценок на показатель L

Показатель $L$ в оценке $p(a,d)<c{d}^L$ иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа Шаблон:Iw, однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Шаблон:Iw
5448	1958	Пан Ченгдонг
777	1965	Chen Jingrun
630	1971	Matti Jutila
550	1970	Matti Jutila
168	1977	Chen Jingrun
80	1977	Matti Jutila
36	1977	Шаблон:Iw
20	1981	Сидней Грэхем
17	1979	Chen Jingrun
16	1986	Вонг
13,5	1989	Chen Jingrun и Liu
8	1990	Вонг
5,5	1992	Шаблон:Iw
5,18	2009	Xylouris
5	2011	Xylouris

См. также

• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии