Теорема Пеано

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что Шаблон:Теорема

Доказательство

Уравнение $\frac{dx}{dt}=f(t,x)$ с начальным условием $x(t_0)=x_0$ эквивалентно интегральному уравнению $x(t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$.

Рассмотрим оператор A, определенный равенством $A(x)\equiv x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ в пространстве $C[t_0-h,t_0+h]$ на шаре $S_b:||x-x_0||⩽b$, который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность $𝒻x_n(t)ℊ$, принадлежащая шару $|x-x_0|⩽b$, равномерно сходится к функции $x(t)\in S_b$, то в силу непрерывности функции $f(t,x)$ имеем, что $f(t,x_n(t))\to f(t,x(t))$ равномерно на $[t_0-h,t_0+h]$. При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что $A{x}_n\to Ax$, то есть оператор A непрерывен на шаре $S_b$.

Для любого элемента $x(t)\in S_b$ выполняется неравенство $|Ax(t)|⩽|x_0|+|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau ⩽|x_0|+\beta |h|$, то есть множество значений оператора $A$ ограничено.

Если $t_1$ и $t_2$ — любые точки отрезка $[t_0-h,t_0+h]$, то для любой функции $x(t)\in S_b$ будем иметь $|Ax(t_2)-Ax(t_1)|⩽|\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |⩽\beta |t_2-t_1|$, то есть множество значений оператора $A$ равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор $A$ преобразует шар $S_b:||x-x_0||⩽b$ в компактное множество.

Это доказывает полную непрерывность оператора $A$.

Оператор $A$ преобразует шар $S_b:||x-x_0||⩽b$ в себя. Действительно, $|Ax(t)-x_0)|⩽|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |⩽\beta h⩽\beta \frac{b}{\beta }=b$.

Таким образом, оператор $A$ удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция $\tilde{x}(t)$, что $\tilde{x}(t)\equiv x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,\tilde{x}(\tau ))d\tau$.

Эта функция $\tilde{x}(t)$ будет решением уравнения $\frac{dx}{dt}=f(t,x)$, удовлетворяющим начальному условию $x(t_0)=x_0$.

См. также

• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• Краснов М.Л. Интегральные уравнения, М., Наука, 1975.