Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга (Шаблон:Lang-en) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

$\frac{\partial u}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒=-𝐉\cdot 𝐄,$

где

$u=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{𝐄}^2+\frac{{𝐁}^2}{{\mu }_0})$ — плотность энергии,

${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная, ${\mu }_0$ — магнитная постоянная,

$\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, S — вектор Пойнтинга,

J — плотность тока, E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }udV+{\oint }_{\partial V}𝐒d𝐀=-\underset{V}{\int }𝐉\cdot 𝐄dV,$

где $\partial V$ — поверхность, ограничивающая объём $V$.

В технической литературе теорема обычно записывается так ($u$ — плотности энергии):

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0,$

где ${\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}{\epsilon }_0{𝐄}^2\right)$ — изменение плотности энергии электрического поля, $\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{𝐁}^2\right)$ — изменение плотности энергии магнитного поля и $𝐉\cdot 𝐄$ — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда — вакуум (μ = 1, ε = 1); для общего случая с произвольной средой нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Домножив обе части уравнения на $𝐁$, получим

$𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла — Ампера:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Домножив обе части уравнения на $𝐄$, получим

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=𝐄\cdot {\mu }_0𝐉+𝐄\cdot {\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}.$

Вычитая первое из второго, получим

$𝐄\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)-𝐁\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{\epsilon }_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Наконец,

$-\mathrm{\nabla }\cdot (𝐄\times 𝐁)={\mu }_0𝐄\cdot 𝐉+{\epsilon }_0{\mu }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+𝐁\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}.$

Поскольку вектор Пойнтинга $𝐒$ определяется как

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

это равносильно

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+{\epsilon }_0𝐄\cdot \frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{𝐁}{{\mu }_0}\cdot \frac{\partial 𝐁}{\partial t}+𝐉\cdot 𝐄=0.$

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

$\frac{\partial }{\partial t}{u}_m(𝐫,t)+\mathrm{\nabla }\cdot {𝐒}_m(𝐫,t)=𝐉(𝐫,t)\cdot 𝐄(𝐫,t),$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

$u_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)),$

${𝐒}_{𝐦}$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

${𝐒}_m(𝐫,t)=\sum _{\alpha }\frac{m_{\alpha }}{2}{\dot{r}}_{\alpha }^2{\dot{𝐫}}_{\alpha }\delta (𝐫-{𝐫}_{\alpha }(t)).$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии:

$\frac{\partial }{\partial t}(u_e+u_m)+\mathrm{\nabla }\cdot ({𝐒}_e+{𝐒}_m)=0.$

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока $𝐒\sim 𝐄\times 𝐁$ можно выбрать форму Авраама $𝐄\times 𝐇$, форму Минковского $𝐃\times 𝐁$, или какую-либо другую.