Теорема Райкова

Теорема Райкова — oбратное утверждение к следующему наблюдению если случайные величины ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ независимы и распределены по закону Пуассона, то их сумма также распределена по закону Пуассона. .

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера, в которой утверждается, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждая из этих случайных величин также имеет нормальное распределение. Ю.В. Линник доказал, что свертка нормального распределения и распределения Пуассона также обладает аналогичным свойством (теорема Линника).

Формулировка теоремы

Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Пуассона и может быть представлена в виде суммы двух независимых случайных величин $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$. Тогда распределения случайных величин ${\xi }_1$ и ${\xi }_2$ являются смещёнными распределениями Пуассона.

Вариации и обобщения

Обощение на локально компактные абелевы группы

Пусть $X$ — локально компактная абелева группа. Обозначим через $M^1(X)$ сверточную полугруппу вероятностных распределений на $X$, а через $E_x$ — вырожденное распределение, сосредоточенное в точке $x\in X$. Пусть $x_0\in X$, $\lambda >0$.

Распределением Пуассона, порождённым мерой $\lambda E_{x_0}$, называется смещённым распределения вида

$\mu =e(\lambda E_{x_0})=e^{-\lambda }(E_0+\lambda E_{x_0}+{\lambda }^2{E}_{2x_0}/2!+\dots +{\lambda }^n{E}_{n{x}_0}/n!+\dots ).$

Имеет место следующая теорема Райкова на локально компактных абелевых группах:

Пусть $\mu$ — распределение Пуассона, порождённое мерой $\lambda E_{x_0}$. Пусть $\mu ={\mu }_1*{\mu }_2,$ где ${\mu }_j\in M^1(X)$. Если $x_0$ — либо элемент бесконечного порядка, либо порядка 2, то ${\mu }_j$ также является распределением Пуассона. Если же $x_0$ — элемент конечного порядка $n$, $n\ne 2$, то ${\mu }_j$ может быть не распределением Пуассона.