Теорема Риса о линейном функционале

Теорема Риса о линейном функционале (теорема Риса — Фреше, теорема представлений Риса) — утверждение функционального анализа о том, что каждый линейный ограниченный функционал $f$ в гильбертовом пространстве $H$ может быть представлен через скалярное произведение с некоторым элементом, то есть существует единственный элемент $y_f\in H$, такой, что $f(x)=⟨y_f,x⟩$ для любого $x\in H$.

Кроме того, норма такого элемента равна норме функционала:

$\Vert y_f\Vert =\Vert f\Vert :=\underset{x\ne 0}{\sup }\left\{\frac{\Vert f(x)\Vert }{\Vert x\Vert }\right\}$.

Естественное следствие — множество $H^{\prime }$ всех ограниченных линейных функционалов в гильбертовом пространстве $H$ также является гильбертовым пространством, сопряжённо-линейным исходному, то есть элементу $\alpha f+\beta g$ в $H^{\prime }$ соответствует $\bar{\alpha }{y}_f+\bar{\beta }{y}_g$ в $H$. Также следствием результата является теорема Лакса — Мильграма, имеющая большое значение в ряде проблем существования решений эллиптических уравнений в частных производных.

Установлена Фридьешем Рисом в 1934 году.

Литература

• Шаблон:Книга