Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега $L_2(a,b)$ и пространства Гильберта $l_2$.

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Шаблон:Нп2.

Доказательство

Возьмём в пространстве $L_2(a,b)$ какую-нибудь полную ортонормальную систему $\{{\phi }_i(t)\}$. Тогда для любого $x(t)\in L_2(a,b)$ имеем $x(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_i{\phi }_i(t),{\xi }_i=(x,{\phi }_i)$, причем в силу равенства Парсеваля $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_i^2={\Vert x\Vert }^2<\mathrm{\infty }$. Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции $x(t)\in L_2(a,b)$ можно рассматривать как элемент $x\in l_2$ гильбертова пространства $l_2$ $x=\{{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n,...\}$. При этом соответствие $x(t)\to x$ однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент $\overline{y}=\{{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n,...\}$ гильбертова пространства $l_2$. Рассмотрим в $L_2(a,b)$ формально ряд $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\eta }_i{\phi }_i(t)$, где $\{{\phi }_i(t)\}$ — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность $s_n(t)=\sum _{i=1}^n{\eta }_i{\phi }_i(t)$ частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо ${\Vert s_{n+p}-s_n\Vert }^2={\Vert \sum _{i=n+1}^{n+p}{\eta }_i{\phi }_i(t)\Vert }^2=\sum _{i=n+1}^{n+p}{\eta }_i^2\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и $p>0$ в силу сходимости ряда $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\eta }_i^2$. Так как пространство $L_2(a,b)$ полное, это значит, что ряд $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\eta }_i{\phi }_i(t)$ сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье ${\eta }_i$ и эту сумму $y(t)\in L_2(a,b)$ ставим в соответствие элементу $\overline{y}$. Опять соответствие $\overline{y}\to y(t)$ однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства $L_2(a,b)$ и $l_2$. Так как, очевидно $x(t)+y(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_i{\phi }_i(t)+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\eta }_i{\phi }_i(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_i+{\eta }_i){\phi }_i(t)$ и $\lambda x(t)=\lambda \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_i{\phi }_i(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda {\xi }_i{\phi }_i(t)$, то из $x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y$ следует $x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x$, то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов $x(t),y(t)\in L_2(a,b)$ имеем в силу равенства Парсеваля ${\Vert x(t)-y(t)\Vert }^2={\Vert \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_i-{\eta }_i){\phi }_i(t)\Vert }^2=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{({\xi }_i-{\eta }_i)}^2={\Vert x-y\Vert }^2$ и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть $L_2(a,b)$ и $l_2$ изометричны.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.