Теорема Томсена

Теорема Томсена, $P_7=P_1$

Теорема Томсена, названная именем немецкого математика Шаблон:Iw, — это теорема элементарной геометрии, согласно которой определённая ломаная, построенная из отрезков, которые параллельны сторонам треугольника, всегда завершается в начальной точке.

Формулировка

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ с точкой $P_1$ на стороне $BC$. Последовательность точек и параллельных прямых строится следующим образом: параллельная стороне $AC$ прямая через точку $P_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $P_2$, а параллельная стороне $BC$ прямая, проходящая через точку $P_2$, пересекает сторону$AC$ в точке $P_3$. Продолжим аналогичное построение. Параллельная стороне $AB$ прямая через точку $P_3$ пересекает сторону $BC$ в точке $P_4$, а параллельная стороне $AC$ прямая через точку $P_4$ пересекает сторону $AB$ в точке $P_5$. Наконец, параллельная стороне $BC$ прямая через точку $P_5$ пересекает сторону $AC$ в точке $P_6$, а параллельная стороне $AB$ прямая через точку $P_6$ пересекает сторону $BC$ в точке $P_7$. Теорема Томсена утверждает, что точки $P_7$ и $P_1$ совпадают, поэтому построение всегда приводит к замкнутому пути $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5{P}_6{P}_1$.

Доказательство

Наличие в условии теоремы большого числа различных пар параллельных прямых, пересекающих стороны треугольника, даёт возможность многократного использования теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках, из которой следуют соотношения:

$P_5{P}_6\parallel BC⟹\frac{A{P}_6}{AC}=\frac{A{P}_5}{AB},$

$P_4{P}_5\parallel CA⟹\frac{A{P}_5}{AB}=\frac{C{P}_4}{CB},$

$P_3{P}_4\parallel AB⟹\frac{C{P}_4}{CB}=\frac{C{P}_3}{CA},$

$P_2{P}_3\parallel BC⟹\frac{C{P}_3}{CA}=\frac{B{P}_2}{BA},$

$P_1{P}_2\parallel CA⟹\frac{B{P}_2}{BA}=\frac{B{P}_1}{BC}.$

Таким образом, $\frac{A{P}_6}{AC}=\frac{B{P}_1}{BC}$. Отсюда, по теореме, обратной к теореме Фалеса, получаем, что $P_6{P}_1\parallel AB$. Но по условию $P_6{P}_7\parallel AB$. Поэтому $P_1=P_7$.

См. также

• Треугольник

Литература

• Шаблон:Книга (Немецкий язык)

Ссылки

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (Немецкий язык)
• Шаблон:MathWorld