Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:

$\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=\frac{A_2{A}_3}{B_2{B}_3}=\frac{A_1{A}_3}{B_1{B}_3}.$

Замечания

В теореме нет ограничений на взаимное расположение прямых (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

История

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: Шаблон:Рамка Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны. Шаблон:Конец рамки

Файл:InvPhales.png

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что $\frac{C{B}_1}{C{A}_1}=\frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}=\dots$, следует, что $A_1{B}_1||A_2{B}_2||\dots$.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского: Шаблон:Рамка Пусть $f$ — проективное соответствие между точками прямой $l$ и прямой $m$. Тогда множество прямых $Xf(X)$ будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). Шаблон:Конец рамки

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения: Шаблон:Рамка Пусть $f$ — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых $Xf(X)$ будет коника (возможно, вырожденная). Шаблон:Конец рамки

В культуре

• Аргентинская комедийная музыкальная группа Шаблон:Нп5 представила песню, посвящённую теореме;

• Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.

См. также

• Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Литература

• Геометрия по Киселёву, § 188.

• Шаблон:Книга