Теорема Тёплица

Теорема Тёплица (Сильвермана — Тёплица) — результат математического анализа, позволяющий устанавливать на основании сходимости произвольной последовательности $z_n$ сходимость последовательностей взвешенных сумм этой последовательности. Применяется, например, для определения регулярности методов суммирования расходящихся рядов.

Формулируется для бесконечного треугольника комплексных чисел (весов) $a_{i,j}$, $j⩽i$:

$a_{1,1}$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$
$a_{3,1}$	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$a_{n,1}$	$a_{n,2}$	$a_{n,3}$	$\dots$	$a_{n,n}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

элементы которого удовлетворяют следующим условиям:

• элементы по столбцам сходятся к нулю: для всякого фиксированного $j\in \mathbb{N}$ выполняется $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i,j}=0$;
• множество сумм модулей элементов по строкам ограничено: $M=\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }\left\{\sum _{j=1}^i\left|a_{i,j}\right|\right\}<\mathrm{\infty }$;

если последовательность комплексных чисел $z_n$ сходится к $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_{\mathrm{\infty }}$, то для $S_n$ — последовательности сумм элементов $z_n$, взвешенных числами треугольника: $S_n=\sum _{m=1}^n\left(a_{n,m}{z}_n\right)$ выполнено:

• если $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_{\mathrm{\infty }}=0$, тогда $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$;
• если $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_{\mathrm{\infty }}\ne 0$ и $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^i{a}_{i,j}=1$, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=z_{\mathrm{\infty }}$.

Частные случаи

Последовательность средних арифметических: при выборе $a_{i,j}=\frac{1}{i}$ из $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_{\mathrm{\infty }}$ следует, что последовательность средних арифметических этой последовательности $S_n=\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n{z}_n$ сходится и имеет тот же предел. Это подтверждает регулярность метода Чезаро суммирования последовательностей.

Последовательность средних гармонических: для последовательности $z_n$, сходящейся к $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_{\mathrm{\infty }}\ne 0$ и не содержащей нулей, определяя последовательность средних геометрических $S_n=\frac{n}{\frac{1}{\left|z_1\right|}+\frac{1}{\left|z_2\right|}+\dots +\frac{1}{\left|z_i\right|}}$ и выбирая в теореме Тёплица веса, равными $a_{i,j}=\frac{1}{\left|z_j\right|}\cdot \frac{1}{\frac{1}{\left|z_1\right|}+\frac{1}{\left|z_2\right|}+\dots +\frac{1}{\left|z_i\right|}}>0$, получается:

$\sum _{j=1}^i{a}_{i,j}=\frac{1}{\frac{1}{\left|z_1\right|}+\frac{1}{\left|z_2\right|}+\dots +\frac{1}{\left|z_i\right|}}\cdot \sum _{j=1}^i\frac{1}{\left|z_j\right|}=1$

для натуральных $i\in \mathbb{N}$, а также:

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\left|z_j\right|}=\frac{1}{\left|z_{\mathrm{\infty }}\right|}\ne 0$,

а потому знакопостоянный ряд $\frac{1}{\left|z_1\right|}+\frac{1}{\left|z_2\right|}+\dots +\frac{1}{\left|z_i\right|}+\dots$ расходится и $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i,j}=0$. Следовательно, условия теоремы Тёплица выполняются, и имеет место:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{m=1}^n\left(a_{n,m}\left|z_n\right|\right)=z_{\mathrm{\infty }}$.

Теорема Штольца может быть рассмотрена как частный случай теоремы Тёплица, если её применить к вещественнозначной последовательности $z_n=\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$, где также $x_n\in ℝ$ и $y_n\in ℝ$, с выбором весов $a_{i,j}=\frac{y_j-y_{j-1}}{y_i}$, в таком случае получается $S_n=\frac{x_n-x_1}{y_n}$.