Теорема Шпильрайна

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка

Любое отношение частичного порядка $⩽$, заданное на некотором множестве $X$, может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиления

Теорема Душника — Миллера

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок $⩽$ группы $G$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы $G$, когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов $a_1,\dots ,a_n$ в $G$ ($a_i\ne e$) можно так подобрать знаки ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ (${\epsilon }_i=1$ или ${\epsilon }_i=-1$), что

$P\cap S(a_1^{{\epsilon }_1},\dots ,a_n^{{\epsilon }_n})=\varnothing .$

Здесь

$S(a_1,\dots ,a_n)$ — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами $a_1,\dots ,a_n$,

$P=\{x\in G\mid 0⩽x\}$ — положительный конус отношения $⩽$.

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального, бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок $⩽$ группы $G$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из $a\notin P$ следует, что для каждого конечного множества элементов $a_1,\dots ,a_n$ в $G$ ($a_i\ne e$) существуют такие подходящие знаки ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ (${\epsilon }_i=1$ или ${\epsilon }_i=-1$), что

$P\cap S(a,a_1^{{\epsilon }_1},\dots ,a_n^{{\epsilon }_n})=\varnothing .$

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда $⩽$ изолирован, то есть из $a^n⩾e$ для некоторого натурального числа $n$ следует $a⩾e$.

Случай векторных пространств

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

Ссылки

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Книга

См. также

• Частично упорядоченное множество