Теорема Эренфеста

Шаблон:Физическая теория Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.

Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований.

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩,$

где $A$ — квантовая наблюдаемая, $H$ — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты $q$ и импульса $p$ частицы описываются уравнениями

$\frac{d}{dt}⟨q⟩=\frac{1}{m}⟨p⟩,$

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=-⟨\frac{\partial U}{\partial q}⟩,$

где $m$ — масса частицы, $U(q)$ — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.

Литература

• Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей, — Шаблон:М: Наука, 1972. (Статья «Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики» стр. 82-84)
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. — Шаблон:М: Наука, 1976. — 664 с (параграф 32, стр. 130—133)
• Матвеев А. Н. Атомная физика, — Шаблон:М: Высшая школа, 1989. — 439 с (стр. 124—126)
• Шаблон:Книга (VI.2. стр.214-216)
• Борисов А. В. Основы квантовой механики Шаблон:Wayback, — Физический факультет МГУ, 1998 г. (Теоремы Эренфеста Шаблон:Wayback)