Теорема о девяти точках на кубической кривой

Теорема о 9 точках на кубической кривой — теорема алгебраической геометрии, которая гласит, что

Шаблон:Начало цитаты Если 8 из 9 точек пересечения двух троек прямых (на рисунке справа — синих и красных) лежат на кубике (кривой третьего порядка, чёрной), то девятая тоже лежит на ней. Шаблон:Конец цитаты

На этой теореме основана возможность определить структуру группы на кубической кривой.

Доказательство

Ниже приведено простое доказательство, использующее исключительно факты из школьной программы. Оно состоит из трёх частей: двух лемм и собственно теоремы.

Лемма 1

Шаблон:Начало цитаты Если многочлен от двух переменных $P(x,y)$ в бесконечном числе точек на прямой $l:ax+by+c=0$ принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть $P(x,y)⋮ax+by+c$. Шаблон:Конец цитаты Обозначим $z:=ax+by+c$. В условии задана прямая, поэтому либо $a$, либо $b$ не равно 0. Будем считать, что это $b$, тогда $y=\frac{z-ax-c}{b}=S(x,z)$, а $P(x,y)=P(x,S(x,z))=F(x,z)=z\cdot Q(x,z)+R(x)$. На прямой $l:z=0$ многочлен $F(x,z)=R(x)=0$, но при этом $x$ может принимать бесконечное число различных значений, поэтому $R(x)\equiv 0$, а значит $P(x,y)=F(x,z)⋮z=ax+by+c$. Шаблон:ЧТД

Лемма 2

Шаблон:Начало цитаты Если кубики $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ пересекаются в трёх точках на прямой $l:ax+by+c=0$, то существует такое число $t$, что $P(x,y)-t\cdot Q(x,y)⋮ax+by+c$. Шаблон:Конец цитаты Аналогично лемме 1 будем считать, что $b\ne 0$, тогда для точек прямой $l$ выполняется равенство $P(x,y)=P(x,-\frac{ax+c}{b})=P_1(x)$, аналогично $Q(x,y)=Q_1(x)$. Многочлены $P_1(x)$ и $Q_1(x)$ равны 0 в трёх общих точках, их степень не выше 3, поэтому существует такое число $t$, что $P(x,y)=t\cdot Q(x,y)$ для всех точек на этой прямой. Применив лемму 1, получаем доказываемое утверждение. Шаблон:ЧТД

Доказательство теоремы

В дальнейшем для краткости параметры многочленов $(x,y)$ будут опущены. Обозначим уравнение чёрной кубики за $H$, красных прямых за $K_1,K_2$ и $K_3$, а красной кубики за $K=K_1\cdot K_2\cdot K_3$. Аналогично для синих прямых и кубики $S=S_1\cdot S_2\cdot S_3$. При этом будем считать нумерацию такой, что необходимо доказать принадлежность точки пересечения $K_2\cap S_2$ кубике $H$.

Применив для прямой $K_1$ и кубик $S$ и $H$ лемму 2, получаем, что существует число $a$, для которого $H-a\cdot S⋮K_1$. Аналогично существует такое $b$, что $H-b\cdot K⋮S_1$. Тогда многочлен третьей степени $A=H-a\cdot S-b\cdot K$ делится на $K_1$ и $S_1$, то есть $A=A_1\cdot K_1$. Многочлен $A$ равен нулю для всех точек прямой $S_1$, прямые $K_1$ и $S_1$ общего положения, а значит $K_1$ принимает значение 0 ровно в одной точек прямой $S_1$. Поэтому $A_1$ равно нулю в бесконечном числе точек прямой $S_1$ и по лемме 1 делится на её уравнение. Таким образом $A⋮K_1\cdot S_1$, а значит $A=K_1\cdot S_1\cdot Q$, где $Q$ — многочлен степени не выше первой, то есть прямая или нуль.

Предположим, что $Q$ — прямая. Левая часть равенства $H-a\cdot S-b\cdot K=K_1\cdot S_1\cdot Q$ равна нулю в точках $K_2\cap S_3,K_3\cap S_3$ и $K_3\cap S_2$, а значит один из трёх множителей в правой части также равен нулю. Но прямые $K_1$ и $S_1$ не проходят через эти точки, поэтому все они лежат на одной прямой — $Q$. Но это невозможно.

Таким образом $Q\equiv 0$, а значит $H=a\cdot S+b\cdot K$. Но кубики $K$ и $S$ проходят через точку $K_2\cap S_2$, а значит и кубика $H$ проходит через эту точку. Шаблон:ЧТД

Применение

Иллюстрация к доказательству теоремы Паскаля через теорему о 9 точках

С помощью теоремы о 9 точках просто доказываются некоторые факты из проективной геометрии, например теорема Паскаля: Шаблон:Начало цитаты Если шестиугольник вписан в коническое сечение, то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Шаблон:Конец цитаты На рисунке справа шестиугольник с 3 красными и 3 синими сторонами вписан в чёрную параболу. Красные и синие прямые пересекаются в 9 зелёных точках, 6 из которых лежат на параболе, а через 2 другие проведена чёрная прямая. Поскольку чёрная кубика, содержит 8 зелёных точек, образованных пересечением красной и синей кубик, она содержит и девятую точку. Но эта точка не лежит на параболе, а значит она принадлежит прямой. Шаблон:ЧТД

Также она может использоваться для доказательства ассоциативности операции сложения точек на эллиптической кривой. А именно, если A, B, C, O принадлежат кубической кривой. Для трёх прямых BC, O (A + B) и A (B + C); и для трёх прямых AB, O (B + C) и C (A + B). Следующие восемь точек А, В, С, А + В, -А-В, В + С, -B-C, O лежат на кубике. Следовательно и девятая точка -A-(B+C)=-(A+B)-C принадлежит ей.

Теорема Шаля

Теорема Шаля — обобщение для случая, когда взяты не тройки прямых, а произвольные кубики: Шаблон:Начало цитаты Если в проективной плоскости две кубики имеют 9 общих точек, то любая другая кубика, проходящая через 8 из них, проходит и через девятую. Шаблон:Конец цитаты

См. также

• Шаблон:Iw
• Коника девяти точек