Теорема о запрете клонирования

Шаблон:О Шаблон:Физическая теория Теоре́ма о запре́те клони́рования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть запутанным с состоянием другой системы. Например, создать запутанное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы Шаблон:Math, которая находится в состоянии $| ψ ⟩_{A}$ (см. обозначения Дирака). Для этого возьмем систему Шаблон:Math с тем же самым гильбертовым пространством, находящуюся в начальном состоянии $| e ⟩_{B}$ . Начальное состояние, конечно, не должно зависеть от состояния $| ψ ⟩_{A}$ , поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система Шаблон:Math описывается тензорным произведением состояний подсистем:

| ψ ⟩_{A} \otimes | e ⟩_{B} \equiv | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} .

С составной системой можно произвести два различных действия.

Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и к (частичной) потере информации об исходном состоянии системы Шаблон:Math. Очевидно, такой сценарий нам не подходит.
Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования Шаблон:Math, должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор Шаблон:Math будет клонировать состояние системы, если

U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B}

и

U | ϕ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = | ϕ ⟩_{A} | ϕ ⟩_{B}

для всех $| ϕ ⟩$ и $| ψ ⟩ .$

Согласно определению унитарного оператора, Шаблон:Math сохраняет скалярное произведение:

⟨ e |_{B} ⟨ ϕ |_{A} U^{†} U | ψ ⟩_{A} | e ⟩_{B} = ⟨ ϕ |_{B} ⟨ ϕ |_{A} | ψ ⟩_{A} | ψ ⟩_{B},

то есть

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{2} .

Из этого следует, что либо $| ϕ ⟩ = | ψ ⟩,$ либо состояния $| ϕ ⟩$ и $| ψ ⟩$ ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция Шаблон:Math не может клонировать произвольное квантовое состояние.

Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.

См. также

Литература

Теорема о запрете клонирования

Содержание

Доказательство

Неточное копирование

См. также

Литература

Навигация

Теорема о запрете клонирования

Доказательство

Неточное копирование

См. также

Литература

Навигация

Поиск