Теорема унитарности

Теорема унитарности (Шаблон:Lang-en) — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физикеШаблон:Sfn.

Формулировка

Для всякого представления $T$ конечной группы $G$, определённого в конечномерном пространстве $L$, можно определить скалярное произведение для любых векторов $x,y\in L$ в этом пространстве $(x,y)$ таким образом, чтобы все операторы $T(g),g\in G$ были унитарными, то есть чтобы для всех $x,y\in L,g\in G$ выполнялось равенство: $(T(g)x,T(g)y)=(x,y)$.

Доказательство

Определим в пространстве $L$ новое скалярное произведение: $(x,y{)}_0=\frac{1}{N}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$. Здесь $N$ — число элементов конечной группы $G$. Покажем, что все операторы $T(g),g\in G$ унитарны относительно этого скалярного произведения: $(T(g)x,T(g)y{)}_0=(x,y{)}_0$. Имеем: $(T(g)x,T(g)y{)}_0=\frac{1}{N}\sum _{h\in G}(T(h)T(g)x,T(h)T(g)y)=\frac{1}{N}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$. Когда элемент $h$ по одному разу пробегает все элементы группы $G$, то произведение $hg$ при фиксированном $g$ тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы $\frac{1}{N}\sum _{h\in G}(T(h)x,T(h)y)$ и $\frac{1}{N}\sum _{h\in G}(T(hg)x,T(hg)y)$ отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество $(T(g)x,T(g)y{)}_0=(x,y{)}_0$ доказано, следовательно, доказана теорема унитарностиШаблон:Sfn.

Следствия

• Если $L_1$ — инвариантное относительно представления $T$ подпростанство, то ортогональное к нему подпространство $L_2\subset L$ тоже инвариантно относительно представления $T$Шаблон:Sfn.
• Если $\tau$ — неприводимое представление конечной группы, то пространство $L$ не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления $\tau$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга