Теория Линдхарда

Теория Линдхард — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в пpиближении случайных фаз.

Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса — Ферми это не что иное как длинноволновое приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного меньше, чем феpмиевский волновой вектор.

В этой статье используется система единиц СГС.

Формула

Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением

$ϵ(q,\omega )=1-V_q\sum _k\frac{f_{k-q}-f_k}{\hslash (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_k}.$

Здесь $V_q$ это $V_{eff}(q)-V_{ind}(q)$ и $f_k$ — функции распределения Ферми — Дирака (см. также статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения.

Анализ формулы Линдхард

Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3 измерениях. 1-мерным случае считается другим способом.

Трёхмерный случай

Длинноволновой предел

Во-первых, рассмотрим предельный длины волны ($q\to 0$).

Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем

$E_{k-q}-E_k=\frac{{\hslash }^2}{2m}(k^2-2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}+q^2)-\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\simeq -\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}$,

и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем

$f_{k-q}-f_k=f_k-\overrightarrow{q}\cdot {\mathrm{\nabla }}_k{f}_k+\cdots -f_k\simeq -\overrightarrow{q}\cdot {\mathrm{\nabla }}_k{f}_k$.

Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем

$\begin{array}{cc}ϵ(0,{\omega }_0)& \simeq 1+V_q\sum _{k,i}\frac{q_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hslash {\omega }_0-\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}\\ & \simeq 1+\frac{V_q}{\hslash {\omega }_0}\sum _{k,i}{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}(1+\frac{\hslash \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m{\omega }_0})\\ & \simeq 1+\frac{V_q}{\hslash {\omega }_0}\sum _{k,i}{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}\frac{\hslash \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m{\omega }_0}\\ & =1-V_q\frac{q^2}{m{\omega }_0^2}\sum _k{f}_k\\ & =1-V_q\frac{q^{2}N}{m{\omega }_0^2}\\ & =1-\frac{4\pi e^2}{ϵq^2{L}^3}\frac{q^{2}N}{m{\omega }_0^2}\\ & =1-\frac{{\omega }_{pl}^2}{{\omega }_0^2}\end{array}$,

где мы использовали $E_k=\hslash {\omega }_k$, $V_q=\frac{4\pi e^2}{ϵq^2{L}^3}$ — фурье образ кулоновского потенциала, ${\omega }_{pl}^2=\frac{4\pi e^{2}N}{ϵL^{3}m}$.

(В единицах СИ, замените фактор $4\pi$ на $1/{ϵ}_0$.)

Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией.

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел ($\omega +i\delta \to 0$). Формула Линдхарда принимает вид

$ϵ(q,0)=1-V_q\sum _k\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}$.

Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем

$ϵ(q,0)=1-V_q\sum _{k,i}\frac{-q_i\frac{\partial f}{\partial k_i}}{-\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}=1-V_q\sum _{k,i}\frac{q_i\frac{\partial f}{\partial k_i}}{\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}$.

При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем

$\sum _i{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}=-\sum _i{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial \mu }\frac{\partial {ϵ}_k}{\partial k_i}=-\sum _i{q}_i{k}_i\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{\partial f_k}{\partial \mu }$

здесь мы использовали ${ϵ}_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ и $\frac{\partial {ϵ}_k}{\partial k_i}=\frac{{\hslash }^2{k}_i}{m}$.

Поэтому

$\begin{array}{cc}ϵ(q,0)& =1+V_q\sum _{k,i}\frac{q_i{k}_i\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{\partial f_k}{\partial \mu }}{\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}=1+V_q\sum _k\frac{\partial f_k}{\partial \mu }=1+\frac{4\pi e^2}{ϵq^2}\frac{\partial }{\partial \mu }\frac{1}{L^3}\sum _k{f}_k\\ & =1+\frac{4\pi e^2}{ϵq^2}\frac{\partial }{\partial \mu }\frac{N}{L^3}=1+\frac{4\pi e^2}{ϵq^2}\frac{\partial n}{\partial \mu }\equiv 1+\frac{{\kappa }^2}{q^2}.\end{array}$

Здесь $\kappa$ это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как $\kappa =\sqrt{\frac{4\pi e^2}{ϵ}\frac{\partial n}{\partial \mu }}$.

Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся формулой

$V_s(q,\omega =0)\equiv \frac{V_q}{ϵ(q,\omega =0)}=\frac{\frac{4\pi e^2}{ϵq^2{L}^3}}{\frac{q^2+{\kappa }^2}{q^2}}=\frac{4\pi e^2}{ϵL^3}\frac{1}{q^2+{\kappa }^2}$.

Преобразование Фурье-этой функции дает

$V_s(r)=\sum _q\frac{4\pi e^2}{ϵL^3(q^2+{\kappa }^2)}{e}^{i\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}=\frac{e^2}{ϵr}{e}^{-\kappa r}$

известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое представляет собой сумму по всем $\overrightarrow{q}$ мы использовали выражение для маленьких $|\overrightarrow{q}|$ для каждого значения $\overrightarrow{q}$ что неправильно.

Статически экранированный потенциал(верхняя криволинейная поверхность) и потенциал кулона(нижняя криволинейная поверхность) в трех измерениях

Для вырожденного газа(Т=0), энергия Ферми определяется

$E_f=\frac{{\hslash }^2}{2m}(3{\pi }^{2}n{)}^{\frac{2}{3}}$,

так что плотность

$n=\frac{1}{3{\pi }^2}{\left(\frac{2m}{{\hslash }^2}{E}_f\right)}^{\frac{3}{2}}$.

При T=0, $E_f\equiv \mu$ таким образом $\frac{\partial n}{\partial \mu }=\frac{3}{2}\frac{n}{E_f}$.

Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора

$\kappa =\sqrt{\frac{4\pi e^2}{ϵ}\frac{\partial n}{\partial \mu }}=\sqrt{\frac{6\pi e^{2}n}{ϵE_f}}$.

Это выражение соответствует формуле для волнового вектора экранировки Томаса-Ферми.

Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай приводит к результату

$\kappa =\sqrt{\frac{4\pi e^{2}n\beta }{ϵ}}$.

Двухмерный случай

Длинноволновой предел

Во-первых, найдём длинноволновой предел ($q\to 0$).

Для знаменателя формулы Линдхард,

$E_{k-q}-E_k=\frac{{\hslash }^2}{2m}(k^2-2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}+q^2)-\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\simeq -\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}$,

и для числителя,

$f_{k-q}-f_k=f_k-\overrightarrow{q}\cdot {\mathrm{\nabla }}_k{f}_k+\cdots -f_k\simeq -\overrightarrow{q}\cdot {\mathrm{\nabla }}_k{f}_k$.

Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем

$\begin{array}{cc}ϵ(0,\omega )& \simeq 1+V_q\sum _{k,i}\frac{q_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hslash {\omega }_0-\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}\\ & \simeq 1+\frac{V_q}{\hslash {\omega }_0}\sum _{k,i}{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}(1+\frac{\hslash \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m{\omega }_0})\\ & \simeq 1+\frac{V_q}{\hslash {\omega }_0}\sum _{k,i}{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}\frac{\hslash \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m{\omega }_0}\\ & =1+\frac{V_q}{\hslash {\omega }_0}2\int d^{2}k(\frac{L}{2\pi }{)}^2\sum _{i,j}{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}\frac{\hslash k_j{q}_j}{m{\omega }_0}\\ & =1+\frac{V_q{L}^2}{m{\omega }_0^2}2\int \frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}\sum _{i,j}{q}_i{q}_j{k}_j\frac{\partial f_k}{\partial k_i}\\ & =1+\frac{V_q{L}^2}{m{\omega }_0^2}\sum _{i,j}{q}_i{q}_{j}2\int \frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{k}_j\frac{\partial f_k}{\partial k_i}\\ & =1-\frac{V_q{L}^2}{m{\omega }_0^2}\sum _{i,j}{q}_i{q}_{j}2\int \frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}{k}_k\frac{\partial f_j}{\partial k_i}\\ & =1-\frac{V_q{L}^2}{m{\omega }_0^2}\sum _{i,j}{q}_i{q}_{j}n{\delta }_{ij}\\ & =1-\frac{2\pi e^2}{ϵq{L}^2}\frac{L^2}{m{\omega }_0^2}{q}^{2}n\\ & =1-\frac{{\omega }_{pl}^2(q)}{{\omega }_0^2},\end{array}$

где мы использовали $E_k=\hslash {ϵ}_k$, $V_q=\frac{2\pi e^2}{ϵq{L}^2}$ и ${\omega }_{pl}^2(q)=\frac{2\pi e^{2}nq}{ϵm}$.

Статический предел

Во-вторых, рассмотрим статический предел ($\omega +i\delta \to 0$). Формула Линдхарда запишется в виде

$ϵ(q,0)=1-V_q\sum _k\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}$.

Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем

$ϵ(q,0)=1-V_q\sum _{k,i}\frac{-q_i\frac{\partial f}{\partial k_i}}{-\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}=1-V_q\sum _{k,i}\frac{q_i\frac{\partial f}{\partial k_i}}{\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}$.

При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем

$\sum _i{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial k_i}=-\sum _i{q}_i\frac{\partial f_k}{\partial \mu }\frac{\partial {ϵ}_k}{\partial k_i}=-\sum _i{q}_i{k}_i\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{\partial f_k}{\partial \mu }$

здесь мы использовали ${ϵ}_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$ и $\frac{\partial {ϵ}_k}{\partial k_i}=\frac{{\hslash }^2{k}_i}{m}$.

Поэтому

$\begin{array}{cc}ϵ(q,0)& =1+V_q\sum _{k,i}\frac{q_i{k}_i\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{\partial f_k}{\partial \mu }}{\frac{{\hslash }^2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{q}}{m}}=1+V_q\sum _k\frac{\partial f_k}{\partial \mu }=1+\frac{2\pi e^2}{ϵq{L}^2}\frac{\partial }{\partial \mu }\sum _k{f}_k\\ & =1+\frac{2\pi e^2}{ϵq}\frac{\partial }{\partial \mu }\frac{N}{L^2}=1+\frac{2\pi e^2}{ϵq}\frac{\partial n}{\partial \mu }\equiv 1+\frac{\kappa }{q}.\end{array}$

$\kappa$ — это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования) определяется как $\kappa =\frac{2\pi e^2}{ϵ}\frac{\partial n}{\partial \mu }$.

Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается

$V_s(q,\omega =0)\equiv \frac{V_q}{ϵ(q,\omega =0)}=\frac{2\pi e^2}{ϵq{L}^2}\frac{q}{q+\kappa }=\frac{2\pi e^2}{ϵL^2}\frac{1}{q+\kappa }$.

Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением

$\mu (n,T)=\frac{1}{\beta }\ln (e^{{\hslash }^2\beta \pi n/m}-1)$,

и $\frac{\partial \mu }{\partial n}=\frac{{\hslash }^2\pi }{m}\frac{1}{1-e^{-{\hslash }^2\beta \pi n/m}}$.

Так, в 2D волновой вектор экранирования

$\kappa =\frac{2\pi e^2}{ϵ}\frac{\partial n}{\partial \mu }=\frac{2\pi e^2}{ϵ}\frac{m}{{\hslash }^2\pi }(1-e^{-{\hslash }^2\beta \pi n/m})=\frac{2m{e}^2}{{\hslash }^2ϵ}{f}_{k=0}.$

Обратите внимание, что этот результат не зависит от N.

Одномерный случай

На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые располагаются очень близко к оси провода.

Эксперимент

В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки, даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования Томаса-Ферми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для K₂Рt(СN)₄Cl_0.32·2.6 Н₂0, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром варьируется как $e^{-k_{eff}r}/r$ и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для металлической платины.

Список литературы

• Шаблон:Книга
• Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении, физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973)