Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в квазинейтральной среде, содержащей свободные положительно и отрицательно заряженные частицы (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление ещё называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой

${\lambda }_{\text{D}}={\left\{\sum _j\frac{4\pi q_j^2{n}_j}{{\epsilon }_{r}k{T}_j}\right\}}^{-1/2}$ (СГС),

${\lambda }_{\text{D}}={\left\{\sum _j\frac{q_j^2{n}_j}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}k{T}_j}\right\}}^{-1/2}$ (СИ),

где $q_j$ — электрический заряд, $n_j$ — концентрация частиц, $T_j$ — температура частиц типа $j$, $k$ — постоянная Больцмана, ${\epsilon }_0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, ${\epsilon }_r$ — диэлектрическая проницаемость. Суммирование идёт по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности $\sum _j{q}_j{n}_j=0$. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

$n_{\text{D}}=\frac{4\pi }{3}{\lambda }_{\text{D}}^3\sum _j{n}_j.$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

$n_{\text{D}}\sim (E_{\text{kinetic}}/E_{\text{coulomb}}{)}^{3/2}.$

Для электролитов это число мало́ ($n_D\sim 10^{-4}$). Для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы физической кинетики для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из $N$ различных типов частиц частицы $j$-й разновидности переносят заряд $q_j$ и имеют концентрацию $n_j(𝐫)$ в точке $𝐫$. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей диэлектрической проницаемостью ${\epsilon }_r$. Распределение зарядов в такой среде создаёт электрическое поле с потенциалом $\mathrm{\Phi }(𝐫)$, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j(𝐫),$

где ${\epsilon }_0$ — диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал $\mathrm{\Phi }(𝐫)$, но также движутся под действием кулоновской силы $-q_j\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫)$. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой $T$, тогда концентрации зарядов $n_j(𝐫)$ могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал — как соответствующий самосогласованному полю. В этих допущениях концентрация $j$-й разновидности частиц описывается Больцмановским распределением:

$n_j(𝐫)=n_j^0\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{kT}),$

где $n_j^0$ средняя концентрация зарядов типа $j$. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения, получаем уравнение Пуассона — Больцмана:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j^0\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{kT}).$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи ($q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)\ll kT$) разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{kT})\approx 1-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{kT}.$

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона — Больцмана

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=\left(\sum _{j=1}^N\frac{n_j^0{q}_j^2}{{\epsilon }_r{\epsilon }_{0}kT}\right)\mathrm{\Phi }(𝐫)-\frac{1}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j,$

также известное как уравнение Дебая — Хюккеля. Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины

${\lambda }_{\text{D}}={\left(\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_{0}kT}{\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j^2}\right)}^{1/2},$

обычно называемой дебаевским радиусом (или дебаевской длиной). Все типы зарядов вносят положительный вклад в дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

(Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma)

Плазма	Плотность ne (м−3)	Температура электронов T (K)	Магнитное поле B (T)	Дебаевская длина λD (м)
Газовый разряд (пинчи)	1016	104	—	10−4
Токамак	1020	108	10	10−4
Ионосфера	1012	103	10−5	10−3
Магнитосфера	107	107	10−8	102
Солнечное ядро	1032	107	—	10−11
Солнечный ветер	106	105	10−9	10
Межзвёздное пространство	105	104	10−10	10
Межгалактическое пространство	1	106	—	105

См. также

• Двойной электрический слой

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга