Теория Серфа

На границе теории особенностей и дифференциальной топологии теория Серфа изучает семейства гладких вещественнозначных функций

$f:M\to ℝ$

на гладком многообразии $M$, их типичные особенности и топологию подпространств, которую эти особенности определяют, как подпространств пространства функций. Теория названа именем Шаблон:Не переведено 5, который начал развивать теорию в конце 1960-х.

Пример

Марстон Морс доказал, что если $M$ компактно, любая гладкая функция

$f:M\to ℝ$

может быть аппроксимирована функцией Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на $M$ функциями Морса.

Следующий шаг, можно спросить: «Если у вас есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можем ли мы быть уверенными, что всё семейство состоит из функций Морса?» В общем случае ответом будет нет. Рассмотрим, например, семейство

$f_t(x)=(1/3)x^3-tx$

как 1-параметрическое семейство функций на $M=ℝ$. В момент

$t=-1$

функция не имеет критических точек, а в момент

$t=1$

функция является функцией Морса с двумя критическими точками

$x=\pm 1$.

Серф показал, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении/исчезновении критических точек, как в примере выше.

Расслоение бесконечномерного пространства

Вернёмся в общему случаю, когда $M$ является компактным многообразием. Пусть $\mathrm{Morse}(M)$ обозначает пространство функций Морса

$f:M\to ℝ$

а $\mathrm{Func}(M)$ обозначает пространство гладких функций

$f:M\to ℝ$.

Морс доказал, что

$\mathrm{Morse}(M)\subset \mathrm{Func}(M)$

является открытым и плотным в топологии $C^{\mathrm{\infty }}$.

Имеется интуитивная аналогия. Рассмотрим функции Морса как открытый слой максимальной размерности в Шаблон:Не переведено 5 $\mathrm{Func}(M)$ (мы не утверждаем, что такое расслоение существует, но предполагаем, что оно есть). Заметим, что в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. С целью упрощения обозначений делаем соглашения об индексировании расслоений в расслоённом пространстве обратными и индексируем открытый слой не по его размерности, а по его коразмерности. Это удобнее, поскольку $\mathrm{Func}(M)$ бесконечномерно, если $M$ не является конечным множеством. По предположению открытый слой с коразмерностью 0 пространства $\mathrm{Func}(M)$ является $\mathrm{Morse}(M)$, то есть $\mathrm{Func}(M{)}^0=\mathrm{Morse}(M)$. В расслоённом пространстве $X$ часто $X^0$ несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 $X^1$ является то, что любой путь в $X$, который начинается и кончается в $X^0$, может быть аппроксимирован путём, который пересекает $X^1$ перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает $X^i$ для любого $i>1$.

Тогда теория Серфа — это теория, изучающая слои $\mathrm{Func}(M)$ с положительной коразмерностью, то есть $\mathrm{Func}(M{)}^i$ для $i>0$. В случае

$f_t(x)=x^3-tx$,

только для $t=0$ функция не является функцией Морса и

$f_0(x)=x^3$

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Единственный параметр (время), утверждение теоремы

Теорема Морса утверждает, что если $f:M\to ℝ$ является функцией Морса, то рядом с критической точкой $p$ она сопряжена с функцией $g:{ℝ}^n\to ℝ$ вида

$g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f(p)+{ϵ}_1{x}_1^2+{ϵ}_2{x}_2^2+\cdots +{ϵ}_n{x}_n^2$,

где ${ϵ}_i\in \{\pm 1\}$.

Теорема Серфа для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один.

А именно, если $f_t:M\to ℝ$ является 1-параметрическим семейством гладких функций на $M$ с $t\in [0,1]$ и $f_0,f_1$ являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство $F_t:M\to ℝ$, такое, что $F_0=f_0,F_1=f_1$, $F$ равномерно близка к $f$ в $C^k$-топологии на функциях $M\times [0,1]\to ℝ$. Более того, $F_t$ являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку $p$ и рядом с этой точкой семейство $F_t$ сопряжено с семейством

$g_t(x_1,x_2,\dots ,x_n)=f(p)+x_1^3+{ϵ}_{1}t{x}_1+{ϵ}_2{x}_2^2+\cdots +{ϵ}_n{x}_n^2$

где ${ϵ}_i\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$. Если ${ϵ}_1=-1$, это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании $t$), а для ${ϵ}_1=1$ это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Истоки

Шаблон:Не переведено 5-задачу Шёнфлиса для $S^2\subset {ℝ}^3$ решил Дж. У. Александер в 1924. Его доказательство приспособили для гладкого случая Морс и Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Существенное свойство использовал Серф для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм $S^3$ изотопен тождественномуШаблон:Sfn, что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для $S^2\subset {ℝ}^3$. Следствие ${\mathrm{\Gamma }}_4=0$ в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Существенное свойство позднее Серф использовал для доказательства Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также МилнорШаблон:Sfn и Серф-Грамейн-МоринШаблон:Sfn переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и МазераШаблон:Sfn. Полезным современным обзором работы Тома и Мазера является книга Глубитского и ГильменаШаблон:Sfn.

Приложения

Помимо вышеупомянутых применений, Робион Кёрби использовал теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

Обобщение

Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений $\{f:M\to ℝ\}$ со временем разработал СержераерШаблон:Sfn.

В семидесятые годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Шаблон:Не переведено 5 и ВагонерШаблон:Sfn, открыв алгебраические $K_i$-разрушения на ${\pi }_{1}M$ ($i=2$) и ${\pi }_{2}M$ ($i=1$), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на ${\pi }_{1}M$ ($i=3$)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья