Теория интегрируемых систем

Теория интегрируемых систем — раздел математической физики, изучающий недиссипативные решения дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных. Такие системы имеют соответствующие высшие симметрии.

С-интегрируемые системы

Под С-интегрируемыми понимают такие системы, решения которых могут быть представлены в явном виде не сложнее, чем через квадратуры — интегралы, зависящие от начальных данных задачи.

Гамильтоновы интегрируемые системы и метод обратной задачи рассеяния

Метод обратной задачи рассеяния подразумевает, что уравнение в частных производных можно представить в виде пары Лакса — системы двух линейных операторов, условием совместности которых будет рассматриваемая система.

Примеры

• уравнение синус-Гордона

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t\partial x}=\sin uu=u(x,t)$

есть условие совместности системы $\frac{\partial \overrightarrow{\psi }}{\partial t}=-\frac{1}{2\lambda }\left(\begin{array}{cc}0& \exp (iu)\\ \exp (iu)& 0\end{array}\right)\overrightarrow{\psi },\frac{\partial \overrightarrow{\psi }}{\partial x}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-i\frac{\partial u}{\partial x}& \lambda \\ \lambda & i\frac{\partial u}{\partial x}\end{array}\right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{\psi }=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(x,t)\\ {\psi }_2(x,t)\end{array}\right)$

• нелинейное уравнение Шрёдингера
• уравнение Кортевега — де Фриза

Интегрируемые цепочки

Примеры

• Цепочка Тоды
• Цепочка Бенни

См. также

• Солитон
• Нелинейная динамика
• нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Кортевега — де Фриза
• Уравнение синус-Гордона

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из
• Шаблон:Книга
• Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М., 1987.
• Лэм Дж., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М.,1983.
• Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев — Гамильтонов подход в теории солитонов.- М.; Наука, 1986, 527 стр.
• Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. - М., Наука, 1990. - 240 с.