Теория теплоёмкости Эйнштейна

Шаблон:Физическая теория Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна $\nu =\omega /2\pi$.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно $3N_a$, где $N_a$ — число Авогадро.
• Энергия их квантования: $\epsilon =n\hslash \omega$, где $n\in \mathbb{N}$, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана

$N_n=N_0\exp (-\frac{\hslash \omega }{kT}n),$

где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

${\overline{U}}_{\mu }=3\overline{\epsilon }{N}_a.$

Среднее значение энергии одного осциллятора $\overline{\epsilon }$ находится из соотношения для среднего значения:

$\overline{\epsilon }=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_n{N}_n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{N}_n}$

и составляет:

$\overline{\epsilon }=\frac{\hslash \omega }{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1},$

отсюда:

${\overline{U}}_{\mu }=3N_a\hslash \omega \frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1}.$

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

$C=\frac{dU}{dT}=3R{\left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)}^2\frac{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)}{{(\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1)}^2}.$

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина ${\theta }_E=\frac{\hslash \omega }{k}$ иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна. Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

См. также

• Модель Дебая
• Закон Дюлонга — Пти
• Закон Джоуля — Коппа

Источники

• Шаблон:Книга:Сивухин Д.В.: Термодинамика и молекулярная физика